Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Claude LEMARÉCHAL : Ingénieur de l’École nationale supérieure d’Électronique, d’Électrotechnique, d’Informatique et d’Hydraulique de Toulouse (ENSEEIHT) Docteur ès sciences Directeur de recherche à l’Institut national de recherche en Informatique et en Automatique (INRIA)
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Lire l’articleINTRODUCTION
En tant que branche des mathématiques appliquées, l’optimisation est maintenant omniprésente. C’est à la fin de la dernière guerre mondiale qu’elle est devenue vraiment opérationnelle, avec l’apparition de la programmation linéaire pour organiser les convois américains vers l’Europe (les « liberty ships »). Elle s’est ensuite fortement développée à partir des années 1960, pendant lesquelles les problèmes non linéaires ont pu être abordés efficacement, grâce principalement aux méthodes de « quasi-Newton ».
Les problèmes traités dans cet article appartiennent au domaine de l’optimisation continue, dans laquelle les variables à optimiser peuvent prendre tout un continuum de valeurs. Ceci s’oppose aux problèmes combinatoires, dans lesquels il s’agit de trouver la meilleure parmi un ensemble fini de possibilités. Nous ne parlons pas dans cet article de ces derniers.
Les méthodes d’optimisation continue relèvent toutes de l’analyse des fonctions de plusieurs variables réelles, et consistent toutes à construire une suite itérative de solutions approchées. C’est ce type de méthodes qui fait l’objet du présent article.
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Exemples de problèmes d’optimisation6. Applications
Citons quelques applications parmi les plus spectaculaires.
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Optimisation de la production électrique
En France, environ 200 centrales EDF fonctionnent chaque jour (nucléaires, thermiques classiques, vallées hydrauliques). L’optimisation sert à calculer leur planning de production pour le lendemain, de façon à produire et transporter au moindre coût l’énergie nécessaire pour satisfaire une demande supposée connue. Des versions stochastiques de ce problème existent, où l’horizon va d’une semaine à un an.
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Biologie moléculaire
Un problème important en pharmacologie est de déterminer la géométrie d’une molécule dont on connaît la formule chimique (un médicament par exemple). Pour ce problème, l’optimisation s’utilise de la manière suivante. Si la position dans l’espace des atomes de cette molécule était connue, alors on pourrait calculer l’énergie associée ; cette énergie résulte des diverses attractions et répulsions interatomiques. L’idée est alors de calculer les positions des atomes, de façon à minimiser cette énergie. Sachant que les molécules « intéressantes » ont quelques milliers d’atomes, ayant chacun trois coordonnées cartésiennes, on est confronté dans ce domaine à des problèmes d’optimisation ayant facilement 104 variables.
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Optimisation de forme
De grands progrès en mécanique des fluides ont été accomplis ces dernières décennies, en particulier en France : on est maintenant capable de simuler un écoulement autour d’un profil donné (aile d’avion, coque de bateau, etc). Utilisant un tel simulateur, on peut calculer la forme du profil en question de façon à minimiser par exemple la traînée. Dans cette approche, on fixe le profil, on calcule la traînée résultante, on modifie le profil suivant des formules données par la théorie de l’optimisation numérique, et on recommence jusqu’à obtenir un profil satisfaisant.
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Météorologie
Depuis une dizaine d’années, de nouvelles méthodes de prévision météorologique sont apparues, dans lesquelles l’optimisation joue un rôle crucial. De fait, les progrès en mécanique des fluides mentionnés ci-dessus permettent d’intégrer...
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Analyse fonctionnelle.
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Calcul différentiel.
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Calcul matriciel.
ANNEXES
Autres ouvrages et sites Internet
Les plus récents
BONNANS (J.F.), GILBERT (J.Ch.), LEMARECHAL (C.), SAGASTIZABAL (C.) - Optimisation numérique. - 324 p. Springer Verlag Paris (1997) (assez complet, passe en revue l’ensemble des problèmes et méthodes évoqués ici).
MINOUX (M.) - Programmation mathématique. - Tome 2, 231 p. bibl. Dunod (1983) (consacré aux problèmes dynamiques et aux problèmes combinatoires).
CULIOLI (J. Ch.) - Introduction à l’optimisation - 316 p. Ellipses Paris (1994) (a une importante composante « systèmes asservis »).
BERTSEKAS (D.P.) - Nonlinear Programming - (Optimisation non linéaire) 646 p. Athena Scientific, Belmont Massachusett (1995).
NOCEDAL (J.), WRIGHT (S.J.) - Numerical Optimization - (Optimisation numérique) 636 p. Springer Verlag, New York (1999).
GILL (P.E.), MURRAY (W.), WRIGHT (M.H.) - Practical Optimization - (Optimisation pratique) 401 p. Academic Press (1981).
FLETCHER (R.) - Practical Methods of Optimization - (Méthodes pratiques d’optimisation) (2e édition) Wiley, Chichester (1987).
* - Ces deux derniers ouvrages très « orientés-utilisateurs ».
Méthodes de points intérieurs
WRIGHT (S.J.) - Primal-dual interior-point methods - (Méthodes de points intérieurs primales-duales) 289 p. Publications SIAM, Philadelphie (1997).
Problèmes d’asservissement
FAURRE (P.), DEPEYROT (M.) - Éléments d’automatique - 280 p. bibl. (64 réf.), Dunod (1974).
BRYSON (A.E.), HO (Y.C.) - Applied optimal control - optimization, estimation and control - (Commande optimale appliquée – optimisation, estimation, et commande) 476 p. bibl. (73 réf.)...
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