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Article

1 - HYPOTHÈSES FONDAMENTALES DE LA MÉTHODE DU PREMIER HARMONIQUE

2 - EXEMPLES DE CALCULS DE GAINS COMPLEXES ÉQUIVALENTS

3 - SYSTÈMES ASSERVIS NON LINÉAIRES EN RÉGIME LIBRE : ÉTUDE DE LA STABILITÉ

4 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : R7190 v1

Exemples de calculs de gains complexes équivalents
Systèmes non linéaires - Méthode du premier harmonique

Auteur(s) : Daniel VIAULT, Patrick BOUCHER

Date de publication : 10 janv. 1983

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Auteur(s)

  • Daniel VIAULT : Ingénieur ESE (École supérieure d’électricité), - Chef du Service Automatique de l’ESE

  • Patrick BOUCHER : Ingénieur ESE, - Chef de Travaux au Service Automatique de l’ESE

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INTRODUCTION

En automatique comme, par exemple, en mécanique, en génie électrique ou en électronique, les problèmes d’analyse et de synthèse ont d’abord été posés en se plaçant dans l’hypothèse de linéarité. Des théories et des méthodes ont ainsi été développées qui ont permis de faire des progrès notables dans les domaines des asservissements et des régulations. Néanmoins, très rapidement, l’ingénieur s’est rendu compte que cette approche ne permettait pas d’étudier le comportement de bon nombre de systèmes réels. On a donc assisté, à partir des années cinquante, à de nombreuses études et recherches dans le domaine des systèmes non linéaires.

Dans une première étape, les non-linéarités ont été regardées essentiellement comme des imperfections, mais très vite les ingénieurs ont pris conscience des avantages qu’ils pouvaient tirer des non-linéarités pour la conception de systèmes plus performants. Parmi ces avantages, et à titre d’exemple, on peut citer la commande par plus ou moins qui permet, si elle est judicieusement conçue, par application du principe bang-bang, d’obtenir des réponses en temps minimal.

Alors que les principes de proportionnalité et de superposition conduisent, pour les systèmes linéaires, à des formulations et à des méthodes d’analyse et de synthèse très générales, il en va tout autrement pour les systèmes non linéaires. En effet, par définition même, sous la dénomination systèmes non linéaires, se regroupent des systèmes de natures très variées, qui nécessitent des approches elles-mêmes très différentes.

Une conséquence du caractère éminemment négatif de cette définition est qu’une théorie unifiée est impossible en automatique non linéaire : l’ingénieur a actuellement à sa disposition un ensemble de méthodes très différentes les unes des autres. La méthode la plus simple consiste à linéariser le système non linéaire, et en particulier à réaliser cette linéarisation dans le domaine fréquentiel. D’autres méthodes de linéarisation existent, mais elles ne seront pas présentées dans cet article ; parmi celles-ci, citons l’étude des points singuliers du système du deuxième ordre et la première méthode de Ljapunov.

Cette linéarisation harmonique est le plus souvent dénommée approximation du premier harmonique ou encore describing function dans la littérature anglo-saxonne.

Nota :

Le lecteur trouvera un tableau des non-linéarités avec leur gain complexe équivalent (tableau 1), et les courbes des gains complexes équivalents et des lieux critiques (figures 7, 8, 9,10, 11, 25, 26, 27 et 28).

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-r7190


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2. Exemples de calculs de gains complexes équivalents

À titre d’exemples, quelques gains complexes équivalents de non-linéarités usuelles sont calculés. On trouvera, sous forme directement utilisable (formules mathématiques, courbes), les résultats non démontrés concernant la plupart des non-linéarités rencontrées dans la pratique (tableau 1, figures 7, 8, 9, 10 et 11).

2.1 Saturation

Soit Xm le niveau de saturation d’une caractéristique non linéaire, de gain unitaire dans sa partie linéaire – Xm   x   Xm.

La caractéristique est représentée sur la figure 12.

  • Calcul de N (X )

    Appliquons x = X  sin ωt à l’entrée, on a alors :

    s (t ) = X sin ωt

    pour 0   t   t1

    et

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - GILLE (J.C.), DECAULNE (P.), PELEGRIN (M.) -   Méthodes d’étude des systèmes asservis non linéaires.  -  Dunod Techniques de l’Automatisme (1967).

  • (2) - GILLE (J.-C.), DECAULNE (P.), PELLEGRIN (M.) -   Systèmes asservis non linéaires.  -  232 p., 2e éd., Dunod (1991).

  • (3) - MIRA (C.) -   Systèmes asservis non linéaires.  -  Dunod Université (1969).

  • (4) - NASLIN (P.) -   Technologie et calcul pratique des systèmes asservis.  -  Dunod (1958).

  • (5) - PAQUET (J.G.), LE MAITRE (J.F.) -   Méthodes pratiques d’étude des oscillations non linéaires. Application aux systèmes par plus ou moins.  -  Gordon and Breach (1970).

  • (6) - PRUDHOME (R.) -   Automatique.  -  2 tomes. Masson (1974).

  • ...

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