Article de référence | Réf : S7450 v1

Conclusion
Commande des systèmes par platitude

Auteur(s) : Frédéric ROTELLA, Irène ZAMBETTAKIS

Date de publication : 10 sept. 2007

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RÉSUMÉ

Après un bref rappel du contexte actuel, cet article s’attache à détailler la platitude d’un modèle afin d’aider à la compréhension du phénomène de commande des système. Cette commande implique la notion de trajectoire que le système doit exécuter, mais aussi la conception d’un contrôle par bouclage permettant la poursuite de cette trajectoire. Le cas des systèmes linéaires est ensuite longuement abordé, et une mise en évidence de la platitude est proposée : platitude et accessibilité, critère des variétés réglées et condition nécessaire et suffisante de platitude. Enfin, une étude des systèmes non plats est évoquée en fin d'article.

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ABSTRACT

After a brief overview of the current context, this article details the flatness of a system in order to assist in the understanding of the system control phenomenon. This control includes the trajectory to be traced by the system and the design of a closed-loop control allowing for the continuation of this trajectory. The case of linear systems is then extensively dealt with and the identification of flatness is presented: flatness and accessibility, criteria of ruled manifolds as well as the necessary and sufficient condition of flatness. To conclude, a study of non-flat systems is provided.

Auteur(s)

  • Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes

  • Irène ZAMBETTAKIS : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - IUT de Tarbes, Université Paul Sabatier de Toulouse

INTRODUCTION

La propriété de platitude d’un système est une notion relativement récente en Automatique qui a été proposée et développée, à partir de 1992, par M. Fliess, J. Lévine, P. Martin et P. Rouchon . Cette propriété, qui permet de paramétrer de façon très simple le comportement dynamique d’un système, est basée sur la mise en évidence d’un ensemble de variables fondamentales du système : ses sorties plates. Ce point de vue, comme nous allons le voir, a de multiples et intéressantes conséquences relativement à la commande des systèmes.

En premier lieu, cela permet de remettre au centre de la commande d’un processus la notion de trajectoire que le système doit exécuter, c’est‐à‐dire que le mouvement demandé à un système doit avant tout être réalisable par ce système. Cela permet ainsi d’éviter de nombreux problèmes auxquels sont confrontés les automaticiens. L’une des premières étapes de la commande par platitude consiste alors à générer une trajectoire désirée adéquate qui tient compte implicitement du modèle du système.

En deuxième lieu, cette commande implique également la conception d’un contrôle par bouclage permettant la poursuite de cette trajectoire. On retrouve ainsi un des principes de base de la boucle de rétroaction : elle sert essentiellement à compenser les erreurs inhérentes à toute modélisation. Nous verrons de plus que, bien qu’utilisant le modèle non linéaire du processus à commander, ce bouclage, élaboré dans l’optique d’une poursuite asymptotique de la trajectoire à réaliser, sera conçu dans un cadre linéaire.

Enfin, et ce n’est pas le moindre de ses intérêts, ce type de commande peut être conçu et appliqué en adoptant un strict point de vue d’ingénierie. En effet, et nous nous attacherons à privilégier cet angle, cette commande, qui peut directement être mise en œuvre à partir du modèle non linéaire, ou même dans certains cas, sur des modèles faisant intervenir des équations aux dérivées partielles, simplifie notablement la conception de la commande des systèmes sans faire appel à toute la lourde panoplie des outils utilisés habituellement dans le cadre des systèmes non linéaires . Elle permet ainsi de se tourner vers une démarche plus pragmatique, mais néanmoins très performante, qui a donné lieu à de nombreuses applications industrielles dans des domaines aussi divers, et sans prétendre ici être exhaustifs, que l’aéronautique, l’automobile, le génie chimique, ou l’agro-alimentaire, c’est‐à‐dire dans tous les domaines où s’applique l’art de l’ingénieur.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7450


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8. Conclusion

Nous avons décrit les diverses procédures à mettre en œuvre pour concevoir une commande par platitude et nous avons indiqué que l’utilisation de la deuxième structure de commande pouvait être appliquée dans de nombreuses situations pratiques et même dans certains cas de systèmes non plats. La première étape d’une commande par platitude consiste à générer la trajectoire désirée sur les sorties plates, variables permettant de paramétrer toutes les autres variables du système, donc les commandes. On obtient ainsi une commande nominale à appliquer au système pour obtenir le comportement désiré. Autour de ces trajectoires désirées, la deuxième étape consiste à concevoir une commande en boucle fermée permettant une poursuite asymptotique de la trajectoire désirée. Cet objectif peut être réalisé via une des deux structures de commandes que nous avons indiquées au cours du texte, la deuxième ayant l’avantage de ramener la conception de la commande à celle d’un système linéaire non stationnaire.

Nous ne l’avons pas détaillé mais la commande par platitude peut être utilisée avec profit dans le cas de modèles plus complexes que ceux abordés ici comme ceux faisant intervenir des équations où des retards interviennent ou ceux décrits par des équations différentielles aux dérivées partielles. Les principes sont encore utilisables et ont conduit ici aussi à des applications pratiques. Les applications de cette commande sont nombreuses. On trouvera dans  un panorama relativement complet des premières applications décrites dans la littérature. Enfin, toutes les méthodes et procédures que nous avons vues sont directement transposables au cas des modèles discrets permettant de décrire des systèmes commandés par un algorithme de commande numérique.

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   Sur les systèmes non linéaires différentiellement plats.  -  C. R. Acad. Sciences, vol. 315, série 1, p. 619-24 (1992).

  • (2) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples.  -  Int. J. Control, vol. 61, no 6, p. 1327-61 (1995).

  • (3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   A Lie-Bäcklund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems.  -  IEEE Trans. Autom. Control, vol. 44, p. 922-937 (1999).

  • (4) - FLIESS (M.) -   Variations sur la notion de contrôlabilité.  -  Journée Soc. Math. France, 17 juin 2000.

  • (5) - ISIDORI (A.) -   Nonlinear control systems.  -  Springer (1989).

  • (6) - KHALIL (W.), DOMBRE (E.) -   Modelisation,...

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