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Article

1 - IMAGES BINAIRES

  • 1.1 - Scène, objets et contexte
  • 1.2 - Images binaires et multinaires

2 - TRAITEMENT ET ANALYSE D'IMAGES BINAIRES

  • 2.1 - Traitement d'image
  • 2.2 - Analyse d'image et d'objet

3 - DOMAINE SPATIAL

4 - CADRES DE BASE

  • 4.1 - Cadre ensembliste
  • 4.2 - Cadre euclidien
  • 4.3 - Cadre topologique ensembliste
  • 4.4 - Cadre morphologique

5 - PRINCIPAUX CADRES GÉOMÉTRIQUES

  • 5.1 - Cadre topologique
  • 5.2 - Cadre différentiel
  • 5.3 - Cadre intégral
  • 5.4 - Cadre stochastique
  • 5.5 - Cadre stéréologique
  • 5.6 - Cadre fractal

6 - OPÉRATEURS ET FONCTIONNELLES

  • 6.1 - Portées
  • 6.2 - Propriétés

7 - DISCUSSION FINALE

Article de référence | Réf : E6612 v1

Opérateurs et fonctionnelles
Mathématiques pour le traitement et l'analyse des images binaires

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 14 nov. 2016

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RÉSUMÉ

Cet article vise à fournir de manière synthétique les principaux concepts, notions et cadres mathématiques qui interviennent dans le domaine du traitement et de l'analyse des images binaires. Il a pour objet d'établir un pont entre les mathématiques, et le traitement et l'analyse d'images binaires. Cette approche est accessible à des lecteurs ayant ni une formation poussée en mathématiques, ni une connaissance approfondie en traitement d'image. Les aspects mathématiques sont systématiquement situés, dans le contexte du traitement et de l'analyse d'image, par des exemples pratiques ou des illustrations concrètes. Réciproquement, les situations applicatives discutées permettent de mettre en évidence le rôle tenu par les mathématiques.

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ABSTRACT

Mathematics for the treatment and analysis of binary images

This article aims to provide a synthetic overview of the key concepts, notions and main mathematical frameworks involved in the field of binary image processing and analysis. It establishes a bridge between mathematics and the processing and analysis of binary images. It is accessible to readers who do not have extensive mathematical training, nor peer knowledge in image processing and analysis. The mathematical aspects of image processing are systematically situated, within the context of analyzing and treating images, alongside practical examples or concrete illustrations. Conversely, the discussed applicative situations make it possible for the role of mathematics to be highlighted.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur à l'École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

Un premier article dans la collection Techniques de l'Ingénieur [E 6 610] a dressé un panorama synthétique des principaux concepts, notions et cadres mathématiques qui interviennent dans le domaine du traitement et de l'analyse des images à tons de gris. Les images à tons de gris sont mathématiquement considérées comme des fonctions numériques définies spatialement sur des pixels et ayant comme valeurs des intensités appelées tons de gris. Les images binaires sont la plupart du temps issues de traitements préalablement réalisés sur des images à tons de gris. Elles consistent en des fonctions définies spatialement sur des pixels et prenant seulement deux valeurs : 0 et 1. La valeur 1 représente les pixels informatifs et la valeur 0 les autres pixels. Comme pour les images à tons de gris, les mathématiques tiennent une place importante puisque les images binaires vont être considérées comme composées d'objets spatiaux. C'est le cas de la géométrie, discipline trop oubliée dans l'enseignement supérieur actuel, qui tient un rôle central en imagerie binaire.

D'un point de vue technologique, cette importance est favorisée par les performances des systèmes d'investigation par imagerie et par les puissances de calcul des ordinateurs, qui se sont considérablement développées dans la deuxième moitié du 20e siècle. L'imagerie binaire a ainsi permis un retour remarquable au « hit-parade » de nombreux résultats « anciens » (19e siècle : théorèmes de Cauchy et de Crofton pour la mesure du périmètre d'un objet), voire médiévaux (16e siècle : principe de Cavalieri sur la mesure du volume par « découpage » d'un objet solide en tranches). Elle s'appuie sur deux piliers que sont la géométrie différentielle (19e siècle : étude des variations locales des objets) et la géométrie intégrale (19e et 20e siècles : mesure du contenu et du contour d'un objet). Elle a favorisé l'émergence dans la deuxième moitié du 20e siècle de branches mathématiques spécifiques comme la stéréologie (étude du passage de mesures spatiales en une ou deux dimension(s) à la troisième dimension) ou la géométrie stochastique (étude de distributions spatiales d'objets d'un point de vue probabiliste). La théorie des ensembles et la géométrie convexe (formule de Steiner du 18e siècle, addition de Minkowski du début du 20e siècle) ont aussi trouvé une nouvelle jeunesse en servant de base à la morphologie mathématique (deuxième moitié du 20e siècle : érosion et dilatation de formes, spectre granulométrique...). La topologie, l'algèbre et la théorie de la mesure, associées à la géométrie, ont donné naissance au cours du 20e siècle à de nouvelles branches des mathématiques (géométrie topologique, géométrie algébrique, théorie de la mesure géométrique) présentant un fort intérêt pour l'imagerie binaire, notamment pour la caractérisation d'objets (connexité, orientations des contours, nombre de Descartes-Euler-Poincaré, mesures de volumes, surfaces ou longueurs). La géométrie fractale a aussi été (re-)mise au goût du jour à la fin du 20e siècle avec un engouement, voire une fascination, toujours intact (les premiers travaux sur les courbes remplissant l'espace datent de la fin du 19e siècle). Enfin, il convient de noter la (ré-) émergence de la géométrie discrète (apparue dès le 16e siècle) et de la topologie discrète (les espaces discrets étaient déjà étudiés lors de la troisième décennie du 20e siècle), se traduisant en imagerie par le néologisme de « géométrie digitale ».

La lecture de l‘article [E 6 610] sur les mathématiques pour le traitement et l'analyse des images à tons de gris n'est pas un prérequis, mais est cependant conseillée.

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KEYWORDS

binary image   |   image processing   |   image analysis

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-e6612


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6. Opérateurs et fonctionnelles

En mathématiques, un opérateur (operator ) (à ne pas confondre avec une opération) est une application entre deux espaces de fonctions ou d'ensembles. Une fonctionnelle (functional ) est une application d'un espace de fonctions ou d'ensembles dans le corps des nombres scalaires (généralement réels et souvent positifs). En imagerie binaire, il existe deux grandes catégories d'opérateurs et de fonctionnelles :

  • ceux agissant sur les images binaires ;

  • ceux concernant les objets binaires.

Les opérateurs agissent en entrée sur une ou plusieurs images (resp. objets) binaires et produisent en sortie une ou plusieurs autres images (resp. objets) binaires. Ils modélisent les transformations d'images (image transformations ) (par exemple, la rotation spatiale d'une image ou la squeletisation). Les fonctionnelles agissent en entrée sur une ou plusieurs images (resp. objets) binaires et fournissent une ou plusieurs informations quantitatives. Elles modélisent les mesures d'images (image measurements ). Les opérateurs et les fonctionnelles peuvent être classifié(e)s en différentes familles, soit en fonction des informations prises en compte en entrée et fournies en sortie, soit en fonction de leur type et de leurs propriétés.

6.1 Portées

La portée (range ) d'un opérateur ou d'une fonctionnelle est une notion majeure aussi bien en théorie qu'en pratique. La notion de portée d'un opérateur ou d'une fonctionnelle agissant sur des images à tons de gris a été présentée dans l'article [E 6 610]. Le paragraphe suivant apporte des précisions concernant les images binaires et les objets binaires.

HAUT DE PAGE

6.1.1 Portées sur les pixels

La portée spatiale (spatial...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BADDELEY (A.), VEDEL JENSEN (E.) -   Stereology : sampling in three dimensions.  -  Research report no 22, Laboratory for Computational Stochastics, Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Denmark (2002).

  • (2) - BERGER (M.) -   Géométrie tome 1 et 2.  -  Cassini, 432 p. et 542 p., Paris (2011).

  • (3) - BERMAN (M.) et al -   Image analysis.  -  Materials Forum, 18, p. 1-19 (1994).

  • (4) - CHERMANT (J.-L.), COSTER (M.) -   Introduction à l'analyse d'images.  -  J. Microsc. Spectrosc. Electron., 12, p. 1-22 (1987).

  • (5) - CHERMANT (J.-L.), SERRA (J.) -   Automatic image analysis today.  -  Microscopy, Microanalysis, Microstructures, 7, p. 279-288 (1996).

  • (6) - CHOQUET (G.) -   Cours de topologie.  -  2e édition,...

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