Commande optimale

Le problème général de la détermination d’une commande optimale d’un processus peut se résumer comme suit :

Un processus étant donné et défini par son modèle, trouver parmi les commandes admissibles celle qui permet à la fois :

• de vérifier des conditions initiales et finales données ;

• de satisfaire diverses contraintes imposées ;

• d’optimiser un critère choisi.

Cette définition appelle quelques commentaires :

• toute recherche de commande, et a fortiori de commande optimale, nécessite la manipulation d’expressions mathématiques et, en particulier de celles caractérisant l’évolution du processus, c’est-à-dire de son modèle. Le choix du modèle s’avère donc primordial. Trop simple, il ne caractérisera pas suffisamment bien le processus, et inutilement sophistiqué, il conduira à des calculs très complexes ;

• la commande est en général soumise à diverses contraintes liées à sa réalisation (accélération limitée, vitesse de montée en puissance bornée, débit borné, discontinuités exclues, réservoir de capacité limitée...) elle-même liée au matériel disponible pour la mise en œuvre ;

• les variables caractéristiques du processus peuvent être soumises à diverses contraintes liées aux saturations, à la sécurité, à la construction, au confort, au coût... ;

• les états initiaux et finaux du processus peuvent également être soumis à diverses contraintes liées aux conditions de départ et à l’objectif à atteindre. Par exemple un hélicoptère décollant d’un bateau pour atterrir sur un autre, tous deux en déplacement ;

• le critère à optimiser doit correspondre à l’expression d’un choix étudié avec soin, il peut être lié aux valeurs de l’état et de la commande pris à des instants donnés, lié à une intégrale d’une fonction de ces variables sur un intervalle de temps fixé ou non, ou les deux à la fois ;

• l’existence d’une commande satisfaisant un objectif donné suppose que le processus est commandable, hypothèse qui sera faite implicitement de façon systématique.

Nous nous limiterons, dans l’étude qui suit, au cas des systèmes à état continu correspondant aux processus physiques. Afin de ne pas alourdir le texte, seuls les résultats fondamentaux les plus utilisés en pratique sont présentés.