Article de référence | Réf : AF1515 v1

Filtrage morphologique
Morphologie mathématique et traitement d’images

Auteur(s) : Isabelle BLOCH

Relu et validé le 30 juil. 2021

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Présentation

RÉSUMÉ

La morphologie mathématique est rapidement devenue une théorie fondamentale du traitement et de l'analyse d'images. Les opérateurs qu'elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d'images, des prétraitements à l'interprétation de scènes. Ils permettent de transformer les images, d'en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes et propriétés du contexte. Dans cet article, sont présentés les opérateurs de base de la morphologie mathématique, dans les cas d'images binaires et à niveaux de gris. Les fondements mathématiques sont brièvement évoqués. Quelques autres opérations sont ensuite décrites : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette, et pour finir les outils morphologiques principaux de segmentation.

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ABSTRACT

Mathematical morphology and image processing

After its introduction in the 1960s, mathematical morphology rapidly became a fundamental theory of image processing and analysis. It provides tools for the entire image processing chain, from pre-treatment (filtering, contrast enhancement) to segmentation and scene interpretation. One of their main features is their non-linear nature. They can transform images, extract features, objects or measurements (shape, size, appearance ...) through an analysis associating the properties of the objects themselves and the context properties (local neighborhood or relations with other objects). In this article, the basic operators are presented (dilation, erosion, opening, closing), both for binary and grey-level images. A few applications associated with these operators are illustrated. The mathematical background is briefly mentioned, in particular the framework of complete lattices, which defines more general operators. A few other operations, useful in the engineering practice, are then described: geodesic and reconstruction operators, filters, all-or-nothing processes, thinning, thickening and skeleton, and finally the main morphological segmentation tools, focusing on watersheds.

Auteur(s)

  • Isabelle BLOCH : Professeur - Institut Mines-Télécom – Télécom ParisTech – CNRS LTCI – Paris

INTRODUCTION

La morphologie mathématique est rapidement devenue, depuis son introduction dans les années 1960    , une théorie fondamentale du traitement et de l’analyse d’images. Les opérateurs qu’elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d’images, des prétraitements (filtrage, rehaussement de contraste) à la segmentation et à l’interprétation de scènes. Une des caractéristiques importantes de ces opérateurs est qu’ils sont non linéaires. Ils permettent de transformer les images, d’en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes (forme, taille, apparence…) et propriétés du contexte (voisinage local ou relations avec d’autres objets).

Pour décrire de manière très synthétique la « boîte à outils » de la morphologie mathématique, il faut retenir les points suivants :

  • les transformations sont non linéaires, elles sont fondées sur des opérations de type sup et inf ;

  • les transformations sont généralement non inversibles, et elles perdent donc de l’information ; le travail du morphologue consiste alors à déterminer les transformations adaptées à son problème, c’est-à-dire qui vont « simplifier » les images en retenant l’information pertinente ;

  • des propriétés analytiques et algébriques sont attachées aux opérations, ce qui permet d’assurer des propriétés précises sur les objets ou images issues des transformations ; c’est sur ces propriétés que l’on s’appuie pour enchaîner les transformations afin de résoudre un problème particulier ;

  • des algorithmes sont également associés aux transformations, permettant leur application de manière efficace.

Dans la suite, nous ferons de rapides rappels historiques, puis introduirons les quatre opérations de base de la morphologie mathématique (dilatation, érosion, ouverture, fermeture), dans les cas d’images binaires et d’images à niveaux de gris. Quelques applications immédiates de ces opérations seront illustrées. Nous reviendrons par la suite sur les fondements mathématiques qui sous-tendent ces définitions, en particulier sur le cadre algébrique des treillis complets, qui est fédérateur et permet de définir des opérations plus générales. Nous étudierons ensuite quelques autres opérations utiles en pratique : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette. Puis nous décrirons les outils morphologiques principaux de segmentation, avec en particulier la ligne de partage des eaux. En guise de conclusion, nous citerons quelques avancées récentes de la morphologie mathématique. Cet article s’appuie en partie sur un cours publié dans  .

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KEYWORDS

mathematical morphology   |   complete lattices   |   dilatation   |   erosion   |   opening   |   closing   |   geodesic operators   |   reconstruction   |   skeleton   |   segmentation   |   morphological filters   |   watersheds

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1515


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5. Filtrage morphologique

Contrairement aux filtres définis dans d'autres domaines du traitement d'images (par convolution par exemple), les filtres morphologiques sont définis par des propriétés algébriques : un filtre est un opérateur croissant et idempotent. Des exemples immédiats sont les ouvertures algébriques (qui sont de plus anti-extensives) et les fermetures algébriques (qui sont de plus extensives). Si (γi) est une famille d'ouverture, est également une ouverture et donc un filtre morphologique. De même, si est une famille de fermetures, alors est une fermeture et donc un filtre. Citons encore les cas particuliers d'ouvertures définies par composition est une adjonction, les fermetures définies par composition , et les ouvertures et fermetures morphologiques, utilisant des éléments structurants. Toutes ces opérations sont des filtres morphologiques.

Un résultat fondamental dans la théorie des filtres morphologiques est le théorème de composition de filtres (voir  pour plus de détails) : si et ψ sont des filtres tels que...

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