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1 - QU’EST-CE QUE LE CALCUL FORMEL ?

  • 1.1 - Une démonstration avec Maple : les cercles de Villarceau
  • 1.2 - Résoudre, substituer, simplifier
  • 1.3 - Peut-on faire confiance à Maple ?

2 - LES EXPRESSIONS, OBJETS DE BASE DU CALCUL FORMEL

  • 2.1 - Variables et valeurs
  • 2.2 - Structure et type d’une expression
  • 2.3 - De l’importance de la substitution en calcul formel
  • 2.4 - Établir de nouvelles relations algébriques
  • 2.5 - Maple fait-il des mathématiques ?
  • 2.6 - Qu’est-ce que simplifier ?

3 - TRAITEMENT DES DONNÉES MULTIPLES

4 - POUR FAIRE DE L’ANALYSE : FONCTIONS OU EXPRESSIONS ?

5 - VECTEURS ET MATRICES : CALCULER AVEC DES TABLEAUX

6 - MAPLE EST-IL UN LANGAGE DE PROGRAMMATION ?

  • 6.1 - Orthonormalisation d’une famille de polynômes
  • 6.2 - Programmation interactive : tests et boucles
  • 6.3 - Procédures, variables locales et globales
  • 6.4 - Faut-il écrire des fonctions récursives ?
  • 6.5 - Un important défaut de Maple

7 - POUR CONCLURE

Article de référence | Réf : H3028 v1

Maple est-il un langage de programmation ?
Calcul formel avec Maple

Auteur(s) : Xavier JEANNEAU

Relu et validé le 27 avr. 2016

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Auteur(s)

  • Xavier JEANNEAU : Agrégé de mathématiques - Professeur en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs,lycée Aristide-Briand d’Évreux

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INTRODUCTION

Les performances spectaculaires du calcul électronique ont depuis longtemps conduit les scientifiques à confier aux ordinateurs le calcul numérique ; il en a résulté un partage des tâches : tout en cédant aux machines le domaine des applications numériques, c’est-à-dire des approximations, l’homme, s’estimant seul capable de raisonner et de mener à bien un calcul algébrique, s’est réservé la maîtrise de l’exactitude. L’apparition des systèmes de calcul formel, capables d’effectuer des calculs algébriques bien au-delà des possibilités humaines, a remis en cause cette répartition rassurante.

L’introduction en 1995 de l’apprentissage d’un logiciel de calcul symbolique dans l’enseignement des classes préparatoires scientifiques a précipité en France cette évolution. Après hésitation entre les logiciels Mathematica et Maple, c’est ce dernier, moins cher et d’un premier abord plus facile, qui a été très majoritairement adopté.

Sans aucune connaissance préalable, cette découverte progressive du logiciel Maple n’est pas pour autant un simple mode d’emploi : au fil de cette exploration, nous avons voulu souligner les caractères généraux du calcul formel en soulevant quelques questions sur le logiciel :

  • sa fiabilité : peut-on démontrer un théorème à l’aide de Maple ? Quelle est en calcul formel la représentation d’une expression algébrique ? Comment le logiciel simule-t-il une activité mathématique ?

  • la manière de l’utiliser : doit-on préférer exécuter les instructions une à une, de manière interactive, ou rédiger des programmes ? Quel est le style de programmation qui s’adapte le mieux au calcul formel ? Quel type de données utiliser pour la géométrie, l’analyse ou l’algèbre linéaire ?

  • son impact : comment le calcul formel change-t-il notre manière de travailler ? Faut-il encore connaître des mathématiques ? Peut-on tout traiter avec Maple ?

Notre ambition étant de montrer que le calcul symbolique peut modifier de manière significative la pratique du travail scientifique, nous nous appuyons sur quelques exemples, peu nombreux mais approfondis. Ne faisant appel qu’aux connaissances mathématiques de première année d’enseignement supérieur, ils requièrent néanmoins une lecture attentive.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-h3028


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6. Maple est-il un langage de programmation ?

6.1 Orthonormalisation d’une famille de polynômes

On considère le -espace vectoriel des polynômes en l’indéterminée x et la fonction :

On démontre que cette application constitue un produit scalaire sur , noté (pq ), et on veut orthogonaliser, pour un entier n fixé, la famille des polynômes (1, x, ..., x n ), pour obtenir une base orthogonale du sous-espace des polynômes de degré au plus n.

Le procédé de Gram-Schmidt consiste, partant de p 0 = 1 et supposant déjà construit les polynômes (p 0 , ..., p k –1) deux à deux orthogonaux, à déterminer un polynôme orthogonal à p 0 , ..., p k –1 ; cela équivaut à poser : .

Cet algorithme ne détermine pas les pk directement à partir des polynômes (1, x , ..., x n ), mais progressivement, en utilisant les polynômes pi que l’on vient de calculer. Une programmation impérative, à l’aide d’une boucle, semble donc très naturelle.

Nous allons travailler sur des expressions en x et non des fonctions, ce qui est tout à fait conforme à la nature même des...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) -   *  -  Pour le lecteur désireux d’étendre cette exploration, outre le mode d’emploi du logiciel HEAL (K.M.), HANSEN (M.L.), RICKARD (K.M.) - Maple V : learning guide., nous conseillons d’abord CORNIL (J.M.), TESTUD (P.) - Maple : introduction raisonnée à l’usage de l’étudiant, de l’ingénieur et du chercheur., très facile d’accès et couvrant l’essentiel des applications de niveau premier cycle universitaire. Si le lecteur est plus intéressé par l’approfondissement du calcul formel tel que nous l’avons esquissé, la meilleure référence est de loin GOMEZ (C.), SALVY (B.), ZIMMERMANN (P.) - Calcul formel : mode d’emploi – Exemples en Maple.. À l’inverse de notre approche, les exemples accompagnant ces deux ouvrages sont brefs et nombreux. Enfin, ceux qu’un peu plus de mathématiques n’effraie pas pourront consulter DUMAS (P.), GOURDON (X.) - Maple : son bon usage en mathématiques..

  • (2) -   *  -  MIGNOTTE (M.) - Mathématiques pour le calcul formel. et DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. sont deux références très classiques sur les mathématiques qui sous-tendent le calcul formel ; DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. montre très bien quelles nouvelles recherches il suscite.

  • (3) -   *  -  MONAGAN (M.B.), GEDDES (K.O.), HEAL (K.M.), LABAHN (G.), VORKOETTER (S.M.)...

ANNEXES

  1. 1 Logiciel

    1 Logiciel

    Les exemples traités dans cet article ont été rédigés avec la version la plus répandue en 2001 : Maple V Release 5. Toutefois, depuis la Release 4 jusqu’à la toute dernière Release 7, aucune modification essentielle n’est intervenue sur le fonctionnement courant du logiciel et les instructions peuvent être adaptées sans changement important.

    Fournisseur du logiciel : Waterloo Maple Inc.

    [email protected]

    http://www.maplesoft.com

    Distributeur en France : Math Center

    [email protected]

    http://www.intesoft.com

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