Article de référence | Réf : S7450 v1

Cas des systèmes linéaires
Commande des systèmes par platitude

Auteur(s) : Frédéric ROTELLA, Irène ZAMBETTAKIS

Date de publication : 10 sept. 2007

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RÉSUMÉ

Après un bref rappel du contexte actuel, cet article s’attache à détailler la platitude d’un modèle afin d’aider à la compréhension du phénomène de commande des système. Cette commande implique la notion de trajectoire que le système doit exécuter, mais aussi la conception d’un contrôle par bouclage permettant la poursuite de cette trajectoire. Le cas des systèmes linéaires est ensuite longuement abordé, et une mise en évidence de la platitude est proposée : platitude et accessibilité, critère des variétés réglées et condition nécessaire et suffisante de platitude. Enfin, une étude des systèmes non plats est évoquée en fin d'article.

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ABSTRACT

After a brief overview of the current context, this article details the flatness of a system in order to assist in the understanding of the system control phenomenon. This control includes the trajectory to be traced by the system and the design of a closed-loop control allowing for the continuation of this trajectory. The case of linear systems is then extensively dealt with and the identification of flatness is presented: flatness and accessibility, criteria of ruled manifolds as well as the necessary and sufficient condition of flatness. To conclude, a study of non-flat systems is provided.

Auteur(s)

  • Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes

  • Irène ZAMBETTAKIS : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - IUT de Tarbes, Université Paul Sabatier de Toulouse

INTRODUCTION

La propriété de platitude d’un système est une notion relativement récente en Automatique qui a été proposée et développée, à partir de 1992, par M. Fliess, J. Lévine, P. Martin et P. Rouchon . Cette propriété, qui permet de paramétrer de façon très simple le comportement dynamique d’un système, est basée sur la mise en évidence d’un ensemble de variables fondamentales du système : ses sorties plates. Ce point de vue, comme nous allons le voir, a de multiples et intéressantes conséquences relativement à la commande des systèmes.

En premier lieu, cela permet de remettre au centre de la commande d’un processus la notion de trajectoire que le système doit exécuter, c’est‐à‐dire que le mouvement demandé à un système doit avant tout être réalisable par ce système. Cela permet ainsi d’éviter de nombreux problèmes auxquels sont confrontés les automaticiens. L’une des premières étapes de la commande par platitude consiste alors à générer une trajectoire désirée adéquate qui tient compte implicitement du modèle du système.

En deuxième lieu, cette commande implique également la conception d’un contrôle par bouclage permettant la poursuite de cette trajectoire. On retrouve ainsi un des principes de base de la boucle de rétroaction : elle sert essentiellement à compenser les erreurs inhérentes à toute modélisation. Nous verrons de plus que, bien qu’utilisant le modèle non linéaire du processus à commander, ce bouclage, élaboré dans l’optique d’une poursuite asymptotique de la trajectoire à réaliser, sera conçu dans un cadre linéaire.

Enfin, et ce n’est pas le moindre de ses intérêts, ce type de commande peut être conçu et appliqué en adoptant un strict point de vue d’ingénierie. En effet, et nous nous attacherons à privilégier cet angle, cette commande, qui peut directement être mise en œuvre à partir du modèle non linéaire, ou même dans certains cas, sur des modèles faisant intervenir des équations aux dérivées partielles, simplifie notablement la conception de la commande des systèmes sans faire appel à toute la lourde panoplie des outils utilisés habituellement dans le cadre des systèmes non linéaires . Elle permet ainsi de se tourner vers une démarche plus pragmatique, mais néanmoins très performante, qui a donné lieu à de nombreuses applications industrielles dans des domaines aussi divers, et sans prétendre ici être exhaustifs, que l’aéronautique, l’automobile, le génie chimique, ou l’agro-alimentaire, c’est‐à‐dire dans tous les domaines où s’applique l’art de l’ingénieur.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7450


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5. Cas des systèmes linéaires

Bien que la commande des systèmes par platitude ait été initialement développée dans le cadre des systèmes non linéaires, les principes sur lesquels elle repose éclairent utilement le cas des systèmes linéaires. Nous ne détaillons pas le cas de la dimension infinie, abondamment décrite dans  , en concentrant notre attention sur les modèles linéaires de dimension finie qu’ils soient stationnaires ou non stationnaires . L’intérêt de considérer les systèmes linéaires, outre le fait qu’ils apparaissent naturellement lors de la linéarisation autour d’un point de fonctionnement ou d’une trajectoire, et que certains systèmes puissent être décrits, dans une grande plage de fonctionnement par un modèle directement linéaire, est que l’utilisation d’une commande par platitude numérique, impliquent leur utilisation. Enfin, et cela n’est pas le moindre de leurs avantages, ils permettent de construire facilement des observateurs locaux.

Nous allons voir que la représentation d’état d’un système linéaire est l’outil naturel à utiliser pour mettre en évidence des sorties plates et pour concevoir sa commande. Comme le cadre non stationnaire n’est pas plus complexe que le cadre stationnaire puisqu’on y utilise les mêmes méthodes ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   Sur les systèmes non linéaires différentiellement plats.  -  C. R. Acad. Sciences, vol. 315, série 1, p. 619-24 (1992).

  • (2) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples.  -  Int. J. Control, vol. 61, no 6, p. 1327-61 (1995).

  • (3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) -   A Lie-Bäcklund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems.  -  IEEE Trans. Autom. Control, vol. 44, p. 922-937 (1999).

  • (4) - FLIESS (M.) -   Variations sur la notion de contrôlabilité.  -  Journée Soc. Math. France, 17 juin 2000.

  • (5) - ISIDORI (A.) -   Nonlinear control systems.  -  Springer (1989).

  • (6) - KHALIL (W.), DOMBRE (E.) -   Modelisation,...

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