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Article

1 - FORME CARTÉSIENNE DES NOMBRES COMPLEXES

2 - NOMBRES COMPLEXES SOUS FORME TRIGONOMÉTRIQUE

3 - FORMULES DE MOIVRE ET D’EULER

  • 3.1 - Formule de Moivre
  • 3.2 - Formules d’Euler

4 - APPLICATIONS

5 - TRANSFORMATION CISSOÏDALE

Article de référence | Réf : D31 v1

Forme cartésienne des nombres complexes
Mathématiques pour l’électricien - Nombres complexes

Auteur(s) : Claude ROUXEL

Date de publication : 10 mai 1999

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  • Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers

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INTRODUCTION

Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble des réels, un nouveau nombre, noté , dont le carré vaut (–1).

Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :

  • conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité...) ;

  • tenir compte de la nouvelle règle :  = –1.

On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :

a et b sont des réels.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-d31


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1. Forme cartésienne des nombres complexes

La conservation des règles opératoires sur les réels et la règle j2 = –1 imposent pour la somme et le produit de :

(a, b, a’, b’ réels) les règles suivantes :

  • somme :

  • produit :

    ( 1 )

1.1 Définition

L’ensemble des nombres complexes, noté , est l’ensemble des couples de réels (ab ), dans lequel sont définies :

  • l’égalité par :

    (ab ) = (a’, b’) ⇔ {a = a’ et b = b’} ;

  • l’addition et la multiplication par les égalités [1] et [2].

La forme  = a + jb pour le couple (ab ) est appelée forme cartésienne.

La notation « j », au lieu de « i » comme en mathématiques, est spécifique à l’électricité pour éviter la confusion avec le courant.

  • Vocabulaire

    Le réel a s’appelle...

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