Analyse modale expérimentale : Annexe 1 : modèle mathématique | Techniques de l’Ingénieur

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Annexe 1 : modèle mathématique
Analyse modale expérimentale

Auteur(s) : Jean PIRANDA

Date de publication : 10 déc. 2001

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6. Annexe 1 : modèle mathématique

6.1 Propriétés d’orthonormalité des solutions propres du système conservatif

Soit le problème aux valeurs propres du système conservatif : [K − ω²M] y = 0.

Pour deux valeurs propres particulières λ_σ et λ_ν distinctes , on a :

;

Notons par ^Ty le vecteur transposé de y. En multipliant à gauche la première équation par ^Ty_ν et la seconde par ^Ty_σ, on obtient en effectuant la différence :

soit encore, les matrices K et M étant symétriques :

ce qui entraîne :

pour σ ¹ ν, ^Ty_σ M y_ν = 0 ;
pour σ = ν, ^Ty_σ M y_σ est une quantité positive que l’on conviendra de normaliser à 1.

En reportant ces relations dans une des équations [16], on obtient :

^Ty_σ K y_ν = 0, σ ¹ ν ;

BIBLIOGRAPHIE

(1) - EWINS (D.) - Modal testing : theory and practice - . Éditions Wiley and Sons, 1984.
(2) - SWEVERS (J.), HEYLEN (W.) - Time domain identification methods for modal analysis (Stratégies d’identification des structures par l’essai de vibration) - . Journée de la Société Française des Mécaniciens. (SFM), septembre 1993.
(3) - IBRAHIM (S.), MIKULCIK (E.) - A method from the direct identification of vibration parameters from the free response - . The Shock and Vibration Bulletin 47/4, p. 183-198, 1977.
(4) - MERGEAY (M.) - Least squares complex exponential method and global system parameter estimation used by modal analysis - . Proceedings of ISMA 8 Leuven Belgium, septembre 1983.
(5) - GARIBALDI (L.), GUO LIANG LIU - Global M.D.O.F. Curve Fitting with Separated Global Parameter Using Frequency Response Function - . IMAC91.
(6)...

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ (DDL)

2 - SYSTÈMES À N DEGRÉS DE LIBERTÉ

2.1 - Solutions du système conservatif homogène
2.2 - Modélisation des systèmes dissipatifs

3 - TECHNIQUES DE L’ANALYSE MODALE EXPÉRIMENTALE

3.1 - Rappel des objectifs de l’analyse modale expérimentale
3.2 - Principales méthodes temporelles
3.3 - Principales méthodes fréquentielles

4 - LES MÉTHODES D’APPROPRIATION

4.1 - Introduction
4.2 - Structure des forces appropriées
4.3 - Structure des forces telles que yr = kyi = αyν dans le cas général
4.4 - Détermination des forces appropriées
4.5 - Conclusion

5 - LISSAGE DE FONCTIONS DE TRANSFERT

5.1 - Principe du lissage
5.2 - Calcul des valeurs propres complexes
5.3 - Calcul du vecteur propre
5.4 - Mise en œuvre pratique
5.5 - Exemple d’application de la technique d’analyse modale par bandes fréquentielles
5.6 - Conclusion

6 - ANNEXE 1 : MODÈLE MATHÉMATIQUE

6.1 - Propriétés d’orthonormalité des solutions propres du système conservatif
6.2 - Propriétés d’orthonormalité des solutions propres du système dissipatif
6.3 - Réponse harmonique d’un système à amortissement proportionnel exprimé sur la base modale du système conservatif associé
6.4 - Réponse harmonique d’un système à amortissement quelconque exprimé sur la base modale du système dissipatif
6.5 - Relations entre modes du système dissipatif et modes du système conservatif associé

7 - ANNEXE 2 : MÉTHODE LSCE (EXPONENTIELLES COMPLEXES)

8 - ANNEXE 3 : MÉTHODES D’APPROPRIATION

8.1 - Structure des forces appropriées
8.2 - Structure des forces telles que yr = kyi = αyν dans le cas général
8.3 - Méthode de Clerc
8.4 - Méthode LMA
8.5 - Détermination des paramètres généralisés
8.6 - Détermination de la matrice des amortissements généralisés complète par couplage entre appropriation et lissage

9 - ANNEXE 4 : LISSAGE DE FONCTIONS DE TRANSFERT

9.1 - Résolution du problème non linéaire d’identification
9.2 - Calcul du vecteur propre

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Annexe 1 : modèle mathématique Analyse modale expérimentale

6. Annexe 1 : modèle mathématique

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