Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article présente les hypothèses et équations dynamiques de la théorie linéaire des coques dans l'hypothèse de Kirchoff-Love, et dans le contexte général de la mécanique Lagrangienne des solides. Les équations présentées généralisent aux coques gauches les formulations usuelles des poutres et incluent les contributions statiques et les termes d'inertie dynamique dans le cadre élastique. Ces équations fondent les modèles généraux des coques dans leur approche modale, en mouvement libre après choc ou lâché, et en mouvement excité sous charge dynamique.
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This artcicle presents the hypotheses and the dynamic linear equations of the theory of shells, considered in the frame of Kirchoff-Love's hypothesis and in the general context of the Lagrangian mechanics of solids. The presented equations generalize to shells the usual formulations of beams, and include the static and inertial elastodynamic terms. These equations constitute the basement of general models of shells in their modal approach, in free motion after shock or release, and in excited motion under dynamic load.
Auteur(s)
-
Yves GOURINAT : Professeur de mécanique des structures, Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace
INTRODUCTION
Les coques sont des éléments essentiels des structures légères, qu'elles soient aérospatiales ou terrestres. Cet article présente de manière synthétique l'ensemble des équations qui les régissent. Ces formulations, développées aussi bien en statique qu'en dynamique, autorisent une mise en équation générale des éléments minces. Ces systèmes sont applicables à des éléments divers dans le cadre élastique linéaire de qualification usuelle du secteur aérospatial et du génie civil, et sont le fondement des développements analytiques et numériques des structures minces dans l'espace. Les équations présentées complètent ainsi les formulaires classiques de résistance des matériaux dédiés aux poutres droites, aux poutres courbes et aux plaques.
Le calcul des coques gauches, et notamment des coques non développables, constitue un ensemble cohérent permettant de traiter toutes les surfaces structurales. La description locale de la surface moyenne constitue donc le cadre géométrique fondamental de la théorie des coques. Le système de Beltrami exprimé en flux internes (visseur) vient compléter cette description, générant les équations de la statique des coques et la formulation générale en représentation de Lagrange des déplacements, pris sur la surface moyenne (système de Reissner). L'introduction explicite des forces d'inertie permet alors d'expliciter les équations générales de la dynamique linéaire des coques, formulées dans les analyses modales en vibration et en choc. Les cas particuliers invariants, et notamment les coques de révolution, font l'objet d'une explicitation particulière, constituant des cas de référence et des exemples usuels pour les applications.
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Définitions générales3. Application : coque cylindrique sous pression variable
À titre illustratif, on explicite le cas particulier important du cylindre de rayon a, auquel est appliquée une charge de surpression interne δp (z ) (chargement axisymétrique méridien).
Le problème étant méridien, les déplacements considérés sont uniquement selon Y (terme V (Z )) et selon Z (flèche W (z )) (figure ).
3.1 Éléments statiques et isothermes
3.1.1 Termes quadratiques de Reissner
Compte tenu de la géométrie du cylindre d'axe z (θ ≥ 0), on a dans ce cas :
Les termes de Reissner se simplifient notablement :
-
Déplacements :
![]()
-
Déformations :
![]()
-
Contraintes :
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Comme
(coque mince) les éléments non nuls du visseur s'explicitent donc ainsi :
...
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BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
REDDY (J.-N.) - Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. - CRC Press (2006).
LAROZE (S.) - Thermique des structures – Dynamique des structures. - Cepadues (2005).
FREY (F.) - STUDER (M.-A.) - Analyse des structures en milieu continus – Coques. - Traité de Génie Civil, vol. 5, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (2003).
GUYADER (J.L.) - Vibrations des milieux continus. - Hermès Science Publications (2002).
KRAUTHAMMER (T.) - VENTSEL (E.) - Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications. - CRC Press (2001).
DE SILVA (C.-W.) - Vibration fondamentals and practice. - CRC Press (2000).
OSSADZOW (C.) - MULLER (P.) - lntroduction aux coques minces élastiques. - Hermès Science Publications (1999).
LALANNE (C.) - Vibrations et chocs mécanique. Tome 1, Vibrations sinusoïdales. - Hermès Science Publications (1999).
DESTUYNDER (P.) - Modélisation des coques minces élastiques. - Masson (1997).
GOURINAT (Y.) - BELLOEIL (V.) - A truncated low approach of intrinsic linear and nonlinear damping in thin structures. - Journal of Vibration and Acoustics, vol. 129, p. 32-38 (2008).
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