Bibliographie & annexes
Présentation
Auteur(s)
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Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
Le champ de l’algèbre linéaire s’est longtemps limité à la résolution des systèmes d’équations linéaires AX = B, c’est-à-dire :
C’est en 1750 que Cramer publie à Genève, dans « L’introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques », ses célèbres formules donnant l’expression des inconnues x1, ..., xn dans un système de n équations à n inconnues. Celles-ci préludent à l’introduction des déterminants.
D’autres méthodes de résolution des systèmes sont élaborées au cours du XIXe siècle, notamment par Gauss, qui fut le directeur de l’Observatoire de Göttingen, en vue de la résolution de problèmes astronomiques.
Enfin, à partir de 1840, Cayley inaugure le calcul vectoriel dans
tandis que Grassmann introduit la notion d’espaces vectoriels abstraits, débouchant sur les idées actuelles de l’algèbre linéaire.
Celles-ci permettent de traiter géométriquement, et indépendamment de toute référence aux bases, les problèmes matriciels qui apparaissent tant en mathématiques (analyse numérique, probabilités, ...) que dans leurs applications aux sciences de l’ingénieur.
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Algèbre linéaire en dimension finie1. Algèbre linéaire en dimension quelconque
1.1 Espaces vectoriels sur un corps commutatif
On rappelle qu’un corps est un ensemble muni de deux lois de composition interne, notées + et
, et vérifiant un certain nombre de propriétés (voir l’article Langage des ensembles et des structures Langage des ensembles et des structures). Ainsi
pour p premier sont des corps.
Dans la suite, on désignera par
un corps et l’on notera
,
les éléments neutres de
pour les lois + et
.
Définition 1. On appelle espace vectoriel sur un corps commutatif
tout triplet (E, +, .) tel que :
-
(E,...
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