Bibliographie & annexes
Présentation
Auteur(s)
-
Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :
(où les inconnues sont les nombres
et où les nombres aij et bi sont donnés dans
) se note aussi, sous forme matricielle :
ou de façon plus ramassée :
AX = B(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).
L’exemple ci-après illustre cette situation.
Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :
Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :
Ici, on prendra donc
et il vient :
L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :
En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :
On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.
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Présentation
Rang d’une matrice2. Changement de bases
Étant donné une application linéaire f d’un espace vectoriel dans un autre, un objectif est de trouver des bases relativement auxquelles la matrice de f a une forme simple : diagonale, diagonale par blocs...
A cet effet, on est souvent conduit à effectuer des changements de bases dans un espace vectoriel.
C’est ce que l’on étudie particulièrement dans ce paragraphe, en explicitant notamment les formules de changement de bases pour les composantes d’un vecteur et les matrices d’une application linéaire.
2.1 Matrices de passage
Définition 8. On considère un espace vectoriel E, de dimension n, et deux bases de celui-ci :
et
.
On appelle matrice de passage de la base
à la base
la matrice carrée d’ordre n dont les éléments de la j ième colonne sont les composantes de
dans la base
.
On note cette matrice
.
On a donc :
On notera, au vu des définitions précédentes, que la matrice de passage de la base
...
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