Présentation

Article

1 - MATRICES D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

  • 1.1 - Matrice d’une application linéaire
  • 1.2 - Somme et produit par un scalaire
  • 1.3 - Produit de deux matrices
  • 1.4 - Matrices carrées

2 - CHANGEMENT DE BASES

  • 2.1 - Matrices de passage
  • 2.2 - Matrices équivalentes. Matrices semblables

3 - RANG D’UNE MATRICE

4 - MATRICES ÉQUIVALENTES

5 - ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS. CONSÉQUENCES

  • 5.1 - Manipulations élémentaires sur les matrices
  • 5.2 - Diverses formes de l’algorithme du pivot de Gauss

6 - DÉTERMINANTS

  • 6.1 - Généralités
  • 6.2 - Étude des formes n-linéaires alternées sur E (dim E = n)
  • 6.3 - Déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme
  • 6.4 - Calcul des déterminants
  • 6.5 - Application des déterminants

7 - RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES

  • 7.1 - Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice carrée
  • 7.2 - Trigonalisation et théorème de Hamilton-Cayley
  • 7.3 - Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées
  • 7.4 - Diagonalisation par blocs

Article de référence | Réf : AF86 v1

Déterminants
Calcul matriciel

Auteur(s) : Gérard DEBEAUMARCHÉ, Danièle LINO

Relu et validé le 19 nov. 2019

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Sommaire

Présentation

Auteur(s)

  • Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

  • Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

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INTRODUCTION

De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :

(où les inconnues sont les nombres et où les nombres aij et bi sont donnés dans ) se note aussi, sous forme matricielle :

ou de façon plus ramassée :

AX = B

(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).

L’exemple ci-après illustre cette situation.

Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x0, x1, ..., xn, xn + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :

Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :

Ici, on prendra donc et il vient :

L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x1, x2, ..., xn du maillage :

En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (xi) mais des valeurs approchées yi de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :

On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).

Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af86


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6. Déterminants

6.1 Généralités

On se propose de définir une application permettant d’étudier la liberté d’une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n et de caractériser par exemple les bases, les matrices inversibles, etc. A cet effet, on cherche une application s’annulant sur les familles liées.

L’application φ pourrait donc vérifier les propriétés suivantes :

φ doit être nulle si deux vecteurs égaux figurent dans la famille, c’est-à-dire si :

φ doit être nulle lorsqu’un des vecteurs est nul.

Cela est réalisé si φ est linéaire en V1, en V2, ..., en Vn, c’est-à-dire si φ est n-linéaire.

Étudions donc les formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n.

Définition 12. Soit E un -espace vectoriel de dimension n. On appelle forme n-linéaire sur E toute application vérifiant :

On dit que la forme n-linéaire φ est, pour et ...

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