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Article

1 - RAPPELS DE THÉORIE DES ENSEMBLES

  • 1.1 - Applications
  • 1.2 - Cardinalité
  • 1.3 - Invariance

2 - ESPACES TOPOLOGIQUES

  • 2.1 - Topologies
  • 2.2 - Points adhérents
  • 2.3 - Séparabilité
  • 2.4 - Compacité
  • 2.5 - Connexité
  • 2.6 - Applications continues
  • 2.7 - Homéomorphismes
  • 2.8 - Plongements
  • 2.9 - Séparations

3 - ESPACES MÉTRIQUES

  • 3.1 - Métriques
  • 3.2 - Sous-ensembles bornés
  • 3.3 - Séparations
  • 3.4 - Continua
  • 3.5 - Complétude, métrisabilité, dénombrabilité et compacité

4 - APPLICATIONS CONTINUES

  • 4.1 - Applications lipchitziennes
  • 4.2 - Contractions
  • 4.3 - Similitudes
  • 4.4 - Isométries
  • 4.5 - Applications höldériennes

5 - HYPER-ESPACE DES COMPACTS

  • 5.1 - Distance de Pompéiu et Hausdorff
  • 5.2 - Complétude

6 - RÉGULARITÉ DES COURBES ET DES SURFACES

7 - L’AUTO-SIMILARITÉ

  • 7.1 - Le concept d’auto-similarité
  • 7.2 - Fonctions itérées
  • 7.3 - Systèmes de fonctions contractives itérées
  • 7.4 - Dimension de similarité
  • 7.5 - Construction de fractales auto-similaires

8 - DIMENSIONS ENTIÈRES ALGÉBRIQUES ET TOPOLOGIQUES

  • 8.1 - Le concept de dimension
  • 8.2 - Dimensions topologiques

9 - DIMENSION DANS L’ESPACE EUCLIDIEN…

  • 9.1 - Dimension de Hausdorff et Besicovitch
  • 9.2 - Dimension de Minkowski et Bouligand
  • 9.3 - Dimension de Pontrjagin et Schnirelmann
  • 9.4 - Dimension de Kolmogorov et Tikhomirov
  • 9.5 - Dimension de pavement de Tricot (1982)

10 -  RELATIONS ENTRE LES DIMENSIONS DANS…

  • 10.1 -  Relations d’égalité et d’inégalité
  • 10.2 -  Dimension de Hausdorff et Besicovitch et dimension de similarité
  • 10.3 -  Dimensions et mesures

11 -  FRACTALS

  • 11.1 -  Définitions informelles
  • 11.2 -  Définitions formelles
  • 11.3 -  Espaces des fractales
  • 11.4 -  Géométrie fractale

12 -  EXEMPLES DE FONCTIONS FRACTALES

13 -  EXEMPLES D’OBJETS HISTORIQUES

  • 13.1 -  Croix de Jérusalem
  • 13.2 -  Mise en abyme
  • 13.3 -  Objets gigognes

14 -  EXEMPLES D’OBJETS FRACTALS ARTIFICIELS

15 -  EXEMPLES D’OBJETS FRACTALS NATURELS

  • 15.1 - Géométrie de la nature
  • 15.2 -  Paradoxe du littoral
  • 15.3 -  Autres exemples

16 -  PROJECTIONS ET SECTIONNEMENTS D’OBJETS FRACTALS

  • 16.1 -  Le théorème de projection de Besicovitch
  • 16.2 -  Le théorème de projection de Marstrand et Mattila
  • 16.3 -  Le théorème de sectionnement de Marstrand et Mattila

17 -  PRODUITS CARTÉSIENS ET INTERSECTIONS D’OBJETS FRACTALS

  • 17.1 -  Produits cartésiens
  • 17.2 -  Intersections

18 -  OBJETS FRACTALS ALÉATOIRES

19 -  OBJETS FRACTALS AUTO-AFFINES

20 -  FRACTALES DANS LE PLAN COMPLEXE

21 -  MÉTHODES PRATIQUES DE CALCUL DE LA DIMENSION FRACTALE

22 - EXEMPLES DE L’INTÉRÊT EN SCIENCES PHYSIQUES

  • 22.1 -  Systèmes dynamiques
  • 22.2 -  Agrégation cinétique
  • 22.3 -  Autres exemples

23 -  L’ATTRACTEUR DE LORENZ

24 -  EXEMPLES DE DOMAINES D’APPLICATIONS

25 -  DISCUSSION FINALE

Article de référence | Réf : AF218 v1

 Exemples d’objets fractals naturels
Géométrie fractale

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 oct. 2017

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RÉSUMÉ

Introduit en 1967 par B. Mandelbrot, l'adjectif fractal qualifie une géométrie portant sur des objets fractionnaires présentant des irrégularités et des détails à toutes les échelles spatiales, avec de plus une auto-similarité. La distinction entre géométrie fractionnaire et fractale est posée en introduction. L'article poursuit par des rappels de théorie des ensembles. Il définit ensuite les espaces topologiques et métriques, ainsi que leurs propriétés, puis l'ensemble des concepts utilisés dans l'étude de cette branche de la géométrie.

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ABSTRACT

Fractal Geometry

Fractional geometry deals with fractional objects in metric spaces. A fractional object has an infinitely fragmented irregular spatial structure, and a topological dimension that is not necessarily an integer, unlike regular objects. A fractional object has a Hausdorff dimension greater than its topological dimension. A fractal object is a fractional object that also has a spatial structure that follows a deterministic or probabilistic rule involving internal self-similarity. Fractal geometry examines geometric fractal objects. This article looks at these geometries, and gives a list of practical applications, with a detailed case (Lorenz attractor).

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint Étienne, France

INTRODUCTION

  • Géométrie fractionnaire et géométrie fractale

    La géométrie fractionnaire (Fractional Geometry) est une branche de la géométrie qui traite des objets géométriques dits fractionnaires, principalement en pratique dans les espaces euclidiens n-dimensionnels, mais le cadre général pertinent est celui des espaces métriques complets séparables. L’adjectif fractionnaire apparût en géométrie dans les travaux d’A. Besicovitch (années 1930), bien qu’il fut introduit en analyse dès le XVIIe siècle par G. Leibniz pour qualifier certains exposants de fonctions.

    Le concept de dimension joue un rôle clef en géométrie fractionnaire, avec notamment la dimension de Hausdorff et Besicovitch introduite par F. Hausdorff (1919), puis étudiée en détail par A. Besicovitch (1929, 1934, 1935, 1937). La théorie de la dimension (Dimension Theory) est une branche de la topologie générale (General Topology) [AF97] [AF98], investiguée rigoureusement pour la première fois par K. Menger (1928). L’étude géométrique des dimensions fractionnaires a été initiée par J. Marstrand (1954).

    Nota : Le terme fraction, apparu en français à la fin du XIIe siècle, est un dérivé du bas latin fractio - « action de briser ».

    La géométrie fractale (Fractal Geometry) porte sur les objets géométriques fractals, c’est-à-dire les objets fractionnaires qui possèdent une structure spatiale qui suit une règle déterministe ou probabiliste impliquant une auto-similarité interne. L’adjectif fractal a été introduit par B. Mandelbrot en 1967 , qui fut à l’origine d’une large vulgarisation du concept de fractalité , provoquant un fort engouement, mais aussi de sévères critiques Krantz (1989). Contrairement aux objets classiques de la géométrie standard dans les espaces euclidiens, dont les structures spatiales deviennent de plus en plus « lisses » au fur et à mesure qu’elles sont investiguées à petite échelle spatiale, les objets fractionnaires présentent des irrégularités et des détails à toutes les échelles spatiales. Un objet fractal présente de plus une auto-similarité, c’est-à-dire un agencement spatial tel que chaque partie de l’objet ressemble « plus ou moins » à l’objet lui-même ou à une de ses parties .

    La théorie des ensembles auto-similaires (self-similar sets) est principalement due à P. Moran (1946) et J. Hutchinson (1981) (p. 29 de et § 6.3 de .

  • Branches concernées des mathématiques

    La géométrie fractionnaire (Fractional Geometry) est une branche de la géométrie associée à la topologie générale (General Topology) [AF97] [AF98] et à la théorie de la mesure géométrique (Geometric Measure Theory) [AF213]. Elle recourt aussi à la topologie géométrique (Geometric Topology) , qui porte sur l’étude des variétés topologiques (topological manifolds), variétés plus générales que les variétés différentiables traitées en géométrie différentielle (Différential Geometry) , notamment des courbes et des surfaces (continues, mais pas nécessairement différentiables), et des applications entre elles, en particulier les plongements d’une variété topologique dans une autre, avec notamment la théorie des nœuds (Knot Theory) et la théorie des tresses (Braid Theory) comme sous-branches.

  • Fonctions et courbes irrégulières

    Au début du XIXe siècle, la plupart des mathématiciens croyaient que les fonctions continues possédaient des dérivées en un nombre « significatif » de points (Ampère, 1806). En 1872, K. Weierstrass présenta un exposé oral devant l’Académie des sciences de Berlin dans lequel il décrivit une fonction continue partout, mais différentiable nulle part (du Bois-Reymond, 1875), semble-t-il introduite dès 1861 par B. Riemann .

    Ce fut chronologiquement la première fonction de ce type publiée, bien que l’exemple le plus ancien actuellement connu soit celui de la fonction de B. Bolzano (vers 1830, publiée en 1922 par M. Jašek) suivi de la fonction de C. Cellérier (vers 1860, publiée en 1890) .

    Puis ce fut au tour des courbes irrégulières d’êtres découvertes par Péano (1890), Hilbert (1891), Sierpińsky (1912)…

    Ces fonctions irrégulières et ces courbes irrégulières furent qualifiées de « monstrueuses » par H. Poincaré (1899). Considérées comme pathologiques (i.e. ayant un comportement atypique « mauvais » ou contre-intuitif) à l’époque, ce n’est désormais plus ainsi avec l’arrivée à maturité des géométries fractionnaire et fractale, comme ce fut le cas pour les géométries non euclidiennes au XVIIIe siècle.

  • Applications pratiques

    Les applications sont nombreuses et variées. Elles portent sur la plupart des champs disciplinaires scientifiques et technologiques (cf. § 24).

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KEYWORDS

Hausdorff measure   |   metric spaces   |   auto-similarity   |   random fractals objects

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af218


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15.  Exemples d’objets fractals naturels

15.1  Géométrie de la nature

Pour parler des fractales, il est souvent fait référence à la géométrie de la nature (Geometry of Nature) . Un objet fractal, dans le sens purement mathématique, exige une infinité d’ordres de grandeur d’échelle suivant une loi puissance, c’est-à-dire une auto-similarité spatiale infinie.

Dans la nature des structures spatiales de type fractal se produisent au cours de phénomènes aussi divers que les nuages, les réseaux fluviaux, les failles géologiques, les montagnes, les côtes, les peaux d’animaux, les flocons de neige, les cristaux, les vaisseaux sanguins et les vagues de l’océan.

HAUT DE PAGE

15.2  Paradoxe du littoral

En 1961, L. F. Richardson conjectura une loi empirique reliant la longueur calculée L(ε) de différentes côtes de littoraux géographiques mesurées avec des pas élémentaires de longueur identique ε (ε > 0) :

est le symbole de proportionnalité, et où dimRM est un nombre réel appelé dimension de Richardson et Mandelbrot, compris entre 1 et 2. Un pas...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) -   Dimension and extensions,  -  North-Holland, 331 pages (1993).

  • (2) - ALBEVERIO (S.), PRATSIOVYTYL (M.), TORBIN (G.) -   Transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension,  -  Central European Journal of Mathematics, Vol. 6, n° 1, pp. 119-128 (2008).

  • (3) - ALEXANDER (D.J.) -   A History of Complex Dynamics,  -  Springer (1994).

  • (4) - AVNIR (D.), BIHAM (O.), LIDAR (D.), MALCAL (O.) -   Is the geometry of nature fractal?,  -  Science, Vol. 279, pp. 39-40, January 1998.

  • (5) - BAIRD (E.) -   L’art fractal,  -  Magazine Tangente, n° 150, p. 45, janvier-Février 2013.

  • (6) - BALCERZAK (M.), KHARAZISHVILI (A.) -   On uncountable unions and intersections...

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