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Article

1 - CLASSES D’ENSEMBLES PARTICULIERS

  • 1.1 - Morphologie mathématique
  • 1.2 - Topologie de Fell sur les ensembles fermés
  • 1.3 - Topologie de Hausdorff sur les ensembles compacts
  • 1.4 - Topologies sur les compacts convexes ou poly-convexes
  • 1.5 - σ-algèbres boréliennes
  • 1.6 - Semi-continuités et continuité
  • 1.7 - Mesurabilité
  • 1.8 - Points remarquables associés à un compact

2 - ENSEMBLES FERMÉS ALÉATOIRES

  • 2.1 - Ensembles fermés aléatoires
  • 2.2 - Ensembles compacts aléatoires
  • 2.3 - Fonctionnelle capacitive de Choquet
  • 2.4 - Propriétés de base des ensembles fermés aléatoires
  • 2.5 - Stationnarité, isotropie, ergodicité, et indépendance
  • 2.6 - Transformations spatiales
  • 2.7 - Distribution de Palm

3 - FONCTIONNELLES

  • 3.1 - Espérance d’Aumann
  • 3.2 - Fonction de couverture spatiale et fraction spatiale
  • 3.3 - Volumes intrinsèques et fonctionnelles de Minkowski
  • 3.4 - Volumes intrinsèques et fonctionnelles de Minkowski
  • 3.5 - Anneau des convexes

4 - FONCTION DE COVARIANCE

5 - FONCTIONS STATISTIQUES SPATIALES

  • 5.1 - Fonctions de Ripley
  • 5.2 - Fonction de van Lieshout et Baddeley
  • 5.3 - Fonctions de distribution des contacts
  • 5.4 - Fonction de distribution morphologique

6 - MODÈLES ALÉATOIRES PONCTUELS

  • 6.1 - Champs ponctuels aléatoires
  • 6.2 - Mesure d’intensité et mesure du moment d’ordre 2
  • 6.3 - Fonction de corrélation des paires
  • 6.4 - Agrégation et hétérogénéité
  • 6.5 - Opérations sur les champs ponctuels aléatoires

7 - CHAMPS PONCTUELS ALÉATOIRES DE POISSON

  • 7.1 - Champs ponctuels aléatoires de Poisson stationnaires
  • 7.2 - Champs ponctuels aléatoires de Poisson généraux

8 - CHAMPS PONCTUELS ALÉATOIRES DE COX

9 - CHAMPS PONCTUELS ALÉATOIRES DE NEYMAN-SCOTT

  • 9.1 - Champs ponctuels aléatoires à agrégats de Matérn
  • 9.2 - Champs ponctuels aléatoires de Thomas

10 -  CHAMPS PONCTUELS ALÉATOIRES À NOYAUX

  • 10.1 -  Champs ponctuels aléatoires à noyaux durs
  • 10.2 -  Champs ponctuels aléatoires à noyaux souples

11 -  CHAMPS PONCTUELS ALÉATOIRES À NOYAU DE MATÉRN

  • 11.1 -  Champs ponctuels aléatoires à noyau de Matérn généralisés
  • 11.2 -  Champs ponctuels aléatoires à noyau dur de Matérn

12 -  CHAMPS ALÉATOIRES DE PARTICULES

  • 12.1 -  Définition
  • 12.2 -  Champs aléatoires de grains à germes
  • 12.3 -  Modèle aléatoire de Stienen

13 -  MODÈLES ALÉATOIRES BOOLÉENS

  • 13.1 -  Champs aléatoires booléens
  • 13.2 -  Propriétés de base du modèle booléen

14 -  CHAMPS ALÉATOIRES BOOLÉENS À GRAINS CONVEXES

  • 14.1 -  Volumes intrinsèques du grain typique
  • 14.2 -  Fraction spatiale
  • 14.3 -  Fonctionnelle capacitive de Choquet
  • 14.4 -  Fonction F de Ripley
  • 14.5 -  Volumes intrinsèques en dimensions 2 et 3
  • 14.6 -  Fonctions de distribution des contacts

15 -  CHAMPS ALÉATOIRES BOOLÉENS À GRAINS SPHÉRIQUES

  • 15.1 -  Dimension 2
  • 15.2 -  Dimension 3

16 -  CHAMPS ALÉATOIRES NON STATIONNAIRES DE GRAINS À GERMES POISSONIENS

17 -  MODÈLES ALÉATOIRES À COURBES EN 2D ET 3D

  • 17.1 -  Densité linéique
  • 17.2 -  Rose des directions tangentielles
  • 17.3 -  Champs de droites de Poisson
  • 17.4 -  Champ de courbes aléatoires  et processus ponctuels de Cox

18 -  MODÈLES ALÉATOIRES À SURFACES EN 3D

  • 18.1 -  Rose des directions normales
  • 18.2 -  Champs de plans de Poisson

19 -  ESTIMATION STATISTIQUE DES CARACTÉRISTIQUES NUMÉRIQUES

  • 19.1 -  Rappel sur l’estimation statistique
  • 19.2 -  Fenêtres d’investigation
  • 19.3 -  Capacité de Choquet
  • 19.4 -  Fraction spatiale
  • 19.5 -  Fonction F de Ripley
  • 19.6 -  Volumes intrinsèques
  • 19.7 -  Fonction de covariance
  • 19.8 -  Champ ponctuel aléatoire de Poisson stationnaire
  • 19.9 -  Champ aléatoire booléen
  • 19.10 -  Modèles booléens

20 -  TEST DE L’HYPOTHÈSE DE STOCHASTICITÉ

  • 20.1 -  Stationnarité et ergodicité
  • 20.2 -  Test du modèle poissonnien
  • 20.3 -  Test du modèle booléen

21 -  MOSAÏQUES ALÉATOIRES

  • 21.1 -  Mosaïques déterministes
  • 21.2 -  Mosaïques aléatoires
  • 21.3 -  Mosaïques de Poisson-Voronoi

22 -  DISCUSSION FINALE

Article de référence | Réf : AF216 v1

Classes d’ensembles particuliers
Géométrie stochastique

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 oct. 2016

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RÉSUMÉ

La géométrie stochastique traite des modèles et des propriétés stochastiques des ensembles géométriques aléatoires, principalement dans les espaces euclidiens. Le propos de cet article est de présenter une synthèse des concepts et notions de base de la géométrie stochastique dans les espaces euclidiens à dimensions. Il contient d’abord quelques rappels. Ensuite, les ensembles fermés aléatoires et leurs propriétés sont introduits. Puis leurs fonctionnelles, fonctions de covariance et principales statistiques spatiales sont exposées. Les modèles aléatoires suivants sont ensuite décrits: de points, de particules, de courbes, et de surfaces. Des éléments d’estimation statistique de caractéristiques spatiales numériques et de tests d’hypothèse de stochasticité sont fournis.

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ABSTRACT

Stochastic geometry

Stochastic geometry deals with models and stochastic properties of random geometric sets, mainly in Euclidean spaces. This article presents a synthesis of the basic concepts and notions of stochastic geometry in n?dimensional Euclidean spaces. Some basics of set theory, topology and measure theory are first given. Random closed sets and their properties are then introduced. Their main functional properties, covariance functions, and main spatial statistics are then presented. The following random models are then described: point fields, particle fields, curve fields, and surface fields. Some information is provided on statistical estimation of numerical spatial characteristics and on stochasticity hypothesis tests.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Frédéric Gruy pour son intérêt scientifique.

INTRODUCTION

La géométrie stochastique (Stochastic Geometry) est une branche des mathématiques dont le nom est apparu dans les années 1960 .

  • Géométrie et probabilités

    La géométrie stochastique traite de l’application des notions et outils de la théorie des probabilités (Probability Theory) à la géométrie, généralement euclidienne. Elle s’intéresse à l’étude des distributions spatiales d’objets géométriques aléatoires (par exemple, en dimension inférieure ou égale à 3 : points, courbes, surfaces, ou corps). Du point de vue géométrique, la géométrie stochastique est l’héritière des probabilités géométriques (Geometric Probability) , où les événements aléatoires ne sont plus « comptés », mais « mesurés ». Elle repose largement sur la géométrie convexe (Convex Geometry) , la géométrie intégrale (Integral Geometry) et sur la théorie de la mesure géométrique (Geometric Measure Theory) . La théorie des processus de points spatiaux (Spatial Point Process Theory) est aussi fondamentale.

    La géométrie stochastique se fonde essentiellement sur deux notions générales : les ensembles aléatoires et les mesures aléatoires . L’origine du concept moderne d’ensemble aléatoire (random set) remonte à Kolmogorov (1933), avant que Robbins (1944, 1945) en établisse les premières formulations mathématiques, notamment en lien avec les probabilités géométriques. Puis, Kendall (1974) et surtout Matheron (1972, 1975) fondèrent la théorie des ensembles aléatoires. Le traité classique sur les mesures aléatoires (random measures) est le livre de Kallenberg .

    La géométrie stochastique est accompagnée par les statistiques spatiales (Spatial Statistics) comme la théorie des probabilités l’est par les statistiques mathématiques (Mathematical Statistics) .

  • Les applications de la géométrie stochastique

    La géométrie stochastique propose des modèles spatiaux pour la description en deux ou trois dimensions des structures spatiales aux échelles micro, méso et macro, ainsi que les méthodes statistiques associées.

    Les applications pratiques de la géométrie stochastique sont très nombreuses et concernent une gamme étendue de disciplines scientifiques et de domaines d’ingénierie, technologiques, ou biomédicaux : agroalimentaire (e.g. emplacement des animaux ou des plantes selon l’existence de prédateurs ou de la nourriture), anatomie (e.g. analyse de la variabilité anatomique d’un spécimen), archéologie (e.g. croissance démographique d’une cité humaine) astronomie (e.g. détermination des arrangements spatiaux dans les galaxies), biologie (e.g. croissance cellulaire et morphogénèse), biométrie (e.g. reconnaissance d’empreintes digitales), botanique (e.g. étude de la biodiversité des espèces animales), criminologie (e.g. suivi de l’intensité de la criminalité violente), chimie (e.g. nucléation et croissance cinétique), cytologie (e.g. dénombrement et classification spatiales de cellules tumorales), dermatologie (e.g. détection et quantification de l’hyperpigmentation de la peau), écologie (e.g. étude de l’influence des plantons marins), épidémiologie (e.g. évolution d’une épidémie), génie des matériaux (e.g. positions de défauts dans des matériaux industriels) génie des procédés (e.g. peintures, encres, aliments, crèmes, lotions, …), géographie (e.g. positions des établissements humains ou des villes), géologie (e.g. découverte et extraction de minerais), histologie (e.g. classification et graduation de tissus cancéreux), métallurgie (e.g. optimisation de procédés de traitement de poudres), médecine (e.g. analyse spatiale du lien entre les points de vente d’alcool et des agressions de personnes), météorologie (e.g. étude des précipitations dans une région), minéralurgie (e.g. localisation des gisements de minéraux), neurologie (e.g. échanges entre les extrémités des neurones), plasturgie (e.g. cristallisation de polymères), neurologie (e.g. quantification des altérations neuronales), pharmacologie (e.g. analyse de la distribution des vésicules synaptiques dans les échanges neuronaux en relation avec une médication), pétrographie (e.g. découverte des gisements et extraction du pétrole), sciences des matériaux (e.g. caractérisation des milieux fibreux, granulaires, poreux), sylviculture (e.g. analyse des plantations d’arbres), séismologie (e.g. répartition des épicentres des séismes), télécommunications (e.g. architecture des réseaux de communication), zoologie (e.g. organisation des terriers ou nids d’animaux).

    Le lecteur pourra se reporter à l’article [AF213] pour ce qui concerne la théorie de la mesure géométrique.

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KEYWORDS

estimators   |   set functionals   |   random closed sets   |   random point fields   |   random geometric object fields

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af216


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1. Classes d’ensembles particuliers

L’espace euclidien -dimensionnel est noté ou simplement . Il est muni de la topologie euclidienne induite par la distance euclidienne (souvent simplement notée ). Les ensembles fermés, ouverts, compacts… de le seront ainsi au sens de la topologie euclidienne. La collection de tous les sous-ensembles de est notée ou simplement .

1.1 Morphologie mathématique

L’addition de Minkowski (Minkowski, 1903), et la soustraction de Minkowski (Hadwiger, 1955), permettent de définir la somme de deux sous-ensembles et ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ARTSTEIN (Z.), VITALE (R. A.) -   A strong law for large numbers for random compact sets,  -  The Annals of Probability, Vol. 3, N° 5, pp. 879-882, (1975).

  • (2) - BADDELEY (A. J) -   A crash course in stochastic geometry.  -  In : Stochastic Geometry : Likelihood and Computation, Eds : O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall and M.-C. N. M. van Lieshout, pp. 1-35, Chapman and Hall, (1999).

  • (3) - BADDELEY (A. J) -   Spatial point processes and their applications.  -  In : Stochastic Geometry, Ed : W. Weil, pp. 1-75, Springer, (2004).

  • (4) - BADDELEY (A. J), GILL (R.D.) -   Kaplan – Meier estimations of distance distributions for spatial point processes,  -  The Annals of Statistics, vol. 25, n° 1, pp. 263-292 (1997).

  • (5) - BADDELEY (A. J), MOLCHANOV (I.) -   Averaging of random sets based on their distance functions,  -  Journal of Mathematical Imaging and Vision, Vol. 8, pp. 79-92, (1998).

  • ...

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