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1 - SÉRIES FORMELLES SUR UN CORPS COMMUTATIF

  • 1.1 - Définitions, généralités
  • 1.2 - Algébricité

2 - ALPHABETS, MOTS, MORPHISMES, AUTOMATES FINIS

  • 2.1 - Alphabets, mots et morphismes
  • 2.2 - Suites sur un alphabet, topologie, points fixes de morphismes
  • 2.3 - Automates finis

3 - Q-NOYAU D’UNE SUITE, Q-OPÉRATEURS DE CARTIER, UN PREMIER THÉORÈME

4 - LE THÉORÈME DE CHRISTOL

5 - QUELQUES AUTRES PROPRIÉTÉS ET APPLICATIONS DES SUITES AUTOMATIQUES

Article de référence | Réf : AF175 v1

q-Noyau d’une suite, q-opérateurs de Cartier, un premier théorème
Suites automatiques et séries formelles algébriques

Auteur(s) : Jean-Paul ALLOUCHE

Date de publication : 10 oct. 2005

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RÉSUMÉ

Cet article présente la famille des suites automatiques, par définition les suites déterministes, périodiques ou ultimement périodiques, engendrées par des automates. Il s’attarde longuement sur les propriétés et applications des séries formelles sur un corps commutatif, ainsi que sur les alphabets et morphismes employés dans ces suites. Le théorème de Christol, qui stipule l’équivalence entre l’algébricité d’une série formelle à coefficients dans un corps fini et l’automaticité de la suite de ses coefficients, y est largement introduit.

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Auteur(s)

INTRODUCTION

Comment reconnaître si une suite (infinie) binaire est « au hasard » ? La difficulté de la question et le caractère non universel des réponses (au hasard dans quel sens ? pour quel usage ?) font qu’on peut imaginer poser la question à l’envers en quelque sorte et demander ce qu’est une suite « déterministe ».

Parmi les suites déterministes, celles engendrées par des « machines abstraites » semblent les plus faciles à étudier. C’est le cas des suites engendrées par automate fini, encore appelées « suites automatiques », dont une définition informelle pourrait être que ce sont des suites dont le ne terme dépend de la valeur donnée par un automate fini (qu’on pourrait représenter comme une sorte de graphe avec des étiquettes mais dont une définition formelle sera donnée plus loin) dans lequel on entre les uns après les autres les chiffres de l’entier n dans une base entière donnée.

Les suites ainsi construites sont bien sûr déterministes ; certaines d’entre elles peuvent être périodiques ou ultimement périodiques (périodiques à partir d’un certain rang), mais celles qui ne sont pas périodiques présentent la double particularité d’être « faciles » à engendrer mais de pouvoir être « compliquées » (comme pourraient l’être des suites « chaotiques » voire... au hasard).

Dans ce qui suit, nous allons présenter cette famille de suites, en insistant sur les propriétés des séries formelles associées sur un corps fini. Le résultat fondamental (théorème de Christol) a été historiquement un pont important entre la théorie des automates (et donc l’informatique théorique) et la théorie des nombres. Nous citerons aussi, très brièvement, des relations avec d’autres domaines des mathématiques, avec la physique (des quasi-cristaux), voire avec la composition musicale.

L’étude systématique des suites automatiques a commencé avec trois articles d’Alan Cobham entre 1968 et 1972 . Elles ont connu leur essor dans leurs liens avec la théorie des nombres avec un article de Gilles Christol en 1979 , puis un article de Gilles Christol, Teturo Kamae, Michel Mendès France et Gérard Rauzy en 1980 . Leurs développements les plus récents pourront être trouvés dans un livre collectif signé Pytheas Fogg , dans un livre de Friedrich von Haeseler , ainsi que dans un livre de Jeff Shallit et de l’auteur .

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af175


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3. q-Noyau d’une suite, q-opérateurs de Cartier, un premier théorème

Définition 10. Soit une suite définie sur un alphabet  et soit q un entier .

On appelle q-noyau de la suite a et l’on note Na l’ensemble de sous-suites

Nous allons définir ci-dessous les opérateurs de décimation ou opérateurs de Cartier sur les séries formelles de Laurent. Nous conviendrons de noter la série  , avec , sous la forme où l’on convient que les an sont tous nuls pour n assez voisin de − ∞.

Définition 11. Soit un entier. On appelle q-opérateurs de décimation ou q-opérateurs de Cartier les applications Λ0, Λ1, ..., Λq −1 définies sur les séries de formelles de Laurent par :

Propriété 2. On montre facilement que les q-opérateurs de Cartier sont linéaires....

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ALLOUCHE (J.-P.), SHALLIT (J.) -   Automatic sequences. Theory, Applications, Generalizations  -  , Cambridge University Press, 571 + xvi pages (2003).

  • (2) - CHRISTOL (G.) -   Ensembles presque périodiques k-reconnaissables  -  , Theoretical Computer Science 9, p. 141-145 (1979).

  • (3) - CHRISTOL (G.), KAMAE (T.), MENDÈS FRANCE (M.), RAUZY (G.) -   Suites algébriques, automates et substitutions  -  , Bulletin de la Société Mathématique de France 108, p. 401-419 (1980).

  • (4) - COBHAM (A.) -   On the Hartmanis-Stearns problem for a class of tag machines  -  , IEEE Conference Record of 1968 Ninth Annual Symposium on Switching and Automata Theory, p. 51-60 (1968).

  • (5) - COBHAM (A.) -   On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata  -  , Mathematical Systems Theory 3, p. 186-192 (1969).

  • (6) - COBHAM (A.) -   Uniform...

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