Article interactif

1 - SUPPORT D’UNE DISTRIBUTION

2 - PRODUIT DE CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

3 - TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS

  • 3.1 - Espace
  • 3.2 - Distributions tempérées
  • 3.3 - Exemples de distributions tempérées
  • 3.4 - Transformée de Fourier des distributions tempérées
  • 3.5 - Exemples de transformées de Fourier
  • 3.6 - Transformée de Fourier dans
  • 3.7 - Convolution et transformée de Fourier

Article de référence | Réf : AF145 v1

Distributions - Convolution et transformée de Fourier

Auteur(s) : Michel DOISY

Relu et validé le 26 avr. 2021

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

RÉSUMÉ

Cet article traite spécifiquement du produit de convolution des distributions et de leur transformée de Fourier. L’association de ces deux outils est parfaitement adaptée dans la résolution de certaines équations différentielles. L’importance du support d’une distribution est tout d’abord établie. Sont abordés ensuite le produit de convolution et ses propriétés. La notion de transformée de Fourier des distributions tempérées est longuement définie.

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

Auteur(s)

  • Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) Institut national polytechnique de Toulouse

INTRODUCTION

Dans un premier article , nous avons présenté les principales opérations sur les distributions et abordé la notion fondamentale de dérivée d’une distribution.

Ce deuxième article traite plus particulièrement du produit de convolution des distributions et de leur transformée de Fourier.

Utilisés conjointement, le produit de convolution et la transformée de Fourier sont deux outils très efficaces pour résoudre certaines équations différentielles. Soit par exemple à résoudre :

Formellement, et en utilisant les propriétés du produit de convolution et de la transformée de Fourier , on peut écrire :

soit encore :

Comme la fonction n’a pas de zéro réel :

En utilisant les tables de transformées de Fourier, on a :

avec

Finalement :

et grâce à l’injectivité de la transformée de Fourier :

ou encore :

Bien entendu, dans ce calcul, plusieurs points restent à justifier ! Mais l’idée fondamentale est qu’en utilisant presque uniquement un calcul formel, on obtient la forme générale de la solution. On cherche à accroître l’efficacité de ce calcul symbolique en utilisant ces opérations au sens des distributions.

En s’appuyant sur le fait que l’opérateur de dérivation des distributions est un produit de convolution , on montrera l’importance de la recherche de solutions des équations différentielles, avec second membre la distribution δ (solution de Green).

Dans la définition du produit de convolution de deux distributions, la notion de support d’une distribution joue un rôle fondamental. Nous étudions en détail cette notion délicate dans le premier paragraphe. Nous montrons ensuite comment le produit de convolution permet la recherche de solutions des équations différentielles en utilisant — en grande partie — un calcul algébrique dans une algèbre de convolution convenable. Nous définissons enfin la notion de transformée de Fourier des distributions tempérées et nous étudions les propriétés conjointes du produit de convolution et transformée de Fourier des distributions, propriétés très voisines de celles qui existent pour les fonctions.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 93% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af145


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Présentation

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

TEST DE VALIDATION ET CERTIFICATION CerT.I. :

Cet article vous permet de préparer une certification CerT.I.

Le test de validation des connaissances pour obtenir cette certification de Techniques de l’Ingénieur est disponible dans le module CerT.I.

Obtenez CerT.I., la certification
de Techniques de l’Ingénieur !
Acheter le module

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Sommaire
Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) -   Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul Numérique – Ondelettes  -  . 354 p. – Masson – Paris (1990).

  • (2) - HERVÉ (M.) -   Transformation de Fourier et distributions  -  . 182 p. – PUF – Paris (1986).

  • (3) - SAICHEV (A.I.), WOYCZYNSKI (W.A.) -   Distributions in the physical and engineering sciences. Volume 1. Distributional and fractal calculus, integral transforms and wavelets  -  . 336 p. – Birkhäuser – Boston (1997).

  • (4) - SCHWARTZ (L.) -   Méthodes mathématiques pour les sciences physiques.  -  390 p. Herman-Paris (1965).

  • (5) - RODDIER (F.) -   Distributions et transformation de Fourier  -  . 323 p. – Ediscience International – Paris (1978).

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Sommaire

QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE

1/ Quiz d'entraînement

Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.

2/ Test de validation

Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.

Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS