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1 - PRÉAMBULE

  • 1.1 - Éléments historiques
  • 1.2 - Branches des mathématiques concernées
  • 1.3 - Intérêts théoriques et pratiques
  • 1.4 - Lectorat et conseil de lecture

2 - ESPACES MÉTRIQUES

  • 2.1 - Rappels de théorie des ensembles
  • 2.2 - Métriques
  • 2.3 - Boules et sphères
  • 2.4 - Diamètres
  • 2.5 - Distances entre sous-ensembles
  • 2.6 - Points d’accumulation
  • 2.7 - Fonctionnelles de distance
  • 2.8 - Métriques induites
  • 2.9 - Ultra-métriques
  • 2.10 -  Métriques généralisées
  • 2.11 -  Métriques étendues
  • 2.12 -  Bornitude
  • 2.13 -  Espaces totalement bornés
  • 2.14 -  Espaces métriques régulièrement bornés
  • 2.15 -  Équivalence entre métriques
  • 2.16 -  Points particuliers

3 - SUITES DE POINTS ET DE SOUS-ENSEMBLES

  • 3.1 - Suites de points
  • 3.2 - Complétude
  • 3.3 - Complétion
  • 3.4 - Équivalence entre métriques
  • 3.5 - Complétude locale

4 - APPLICATIONS ENTRE ESPACES MÉTRIQUES

  • 4.1 - Définition
  • 4.2 - Continuité séquentielle
  • 4.3 - Continuité uniforme
  • 4.4 - Continuité de Cauchy
  • 4.5 - Applications bornées
  • 4.6 - Applications lipchitziennes
  • 4.7 - Contractions
  • 4.8 - Similitudes
  • 4.9 - Isométries
  • 4.10 -  Quasi-isométries
  • 4.11 -  Presque-isométries
  • 4.12 -  Applications höldériennes
  • 4.13 -  Module de continuité
  • 4.14 -  Continuité de Dini
  • 4.15 -  Comparaison des notions de continuité
  • 4.16 -  Équivalence entre métriques
  • 4.17 -  Équivalence entre espaces métriques
  • 4.18 -  Continuité des fonctions distances

5 - NOTIONS DE SÉPARATION

  • 5.1 - Espaces métriques
  • 5.2 - Espaces semi-métriques
  • 5.3 - Espaces pseudo-métriques
  • 5.4 - Espaces quasi métriques
  • 5.5 - Espaces semi-pseudo-métriques
  • 5.6 - Espaces semi-quasi-métriques
  • 5.7 - Remarques
  • 5.8 - Intérêts du concept de séparation

6 - NOTIONS DE DÉNOMBRABILITÉ

  • 6.1 - Bases dénombrables de voisinages
  • 6.2 - Bases dénombrables d’ouverts
  • 6.3 - Séparabilité
  • 6.4 - Séquentialité

7 - NOTIONS DE COMPACITÉ

  • 7.1 - Espaces compacts
  • 7.2 - Espaces relativement compacts
  • 7.3 - Espaces localement compacts
  • 7.4 - Espaces compactement engendrés
  • 7.5 - Espaces dénombrablement compacts
  • 7.6 - Espaces paracompacts
  • 7.7 - Espaces métacompacts et faiblement métacompacts
  • 7.8 - Espaces dénombrablement paracompacts
  • 7.9 - Espaces de Lindelöf
  • 7.10 -  Espaces σ-compacts
  • 7.11 -  Espaces pseudo-compacts
  • 7.12 -  Espace séquentiellement compacts
  • 7.13 -  Espaces faiblement dénombrablement compacts
  • 7.14 -  Espaces métriques pré-compacts
  • 7.15 -  Relations entre les notions de compacité

8 - NOTIONS DE CONNEXITÉ

  • 8.1 - Connexités
  • 8.2 - Discontinuités

9 - MÉTRISABILITÉ ET MÉTRISATION

  • 9.1 - Métrisabilité
  • 9.2 - Métrisabilités particulières
  • 9.3 - Métrisation

10 -  APPLICATIONS ENTRE ESPACES MÉTRIQUES II

  • 10.1 -  Extension d’applications
  • 10.2 -  Théorèmes du point fixe

11 -  PRÉSERVATION ET INVARIANCE DES PROPRIÉTÉS

  • 11.1 -  Bornitude
  • 11.2 -  Bornitude totale
  • 11.3 -  Complétude
  • 11.4 -  Métrisabilité

12 -  CONCLUSION

  • 12.1 -  Autres notions
  • 12.2 -  Problèmes et questions ouverts
  • 12.3 -  Applications inattendues
  • 12.4 -  Nouvelles applications et nouveaux développements théoriques

Article de référence | Réf : AF120 v1

Suites de points et de sous-ensembles
Espaces métriques I - Notions de base

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 juil. 2018

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RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et pour d’autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces métriques qui sont des ensembles dans lesquels les distances entre points sont rigoureusement définies, et qui sont des espaces topologiques très utiles. Ensuite sont présentés les concepts topologiques majeurs de séparation, dénombrabilité, de compacité, et de connexité dans le cadre des espaces métriques et le concept de bornitude. La métrisabilité et les théorèmes du point fixe constituent la fin de cet article.

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ABSTRACT

Metric Spaces I. Basic Notions

General topology is the branch of mathematics that deals with the fundamental concepts used in topology, and their properties. Its theoretical and applicational utility is found in all branches of analysis and geometry, and in many other scientific disciplines outside mathematics. This article covers the basics of metric space, i.e. sets in which distances between points are rigorously defined, and which are very useful topological spaces. Then come the major topological concepts of separation, countability, compactness and connectedness in metric spaces, and the concept of boundedness. Lastly, metrizability and the fixed-point theorems are addressed.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France -

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

La lecture des deux articles de la série portant sur les espaces topologiques [AF97] et [AF98] n’est pas un prérequis, mais est recommandée. Le lecteur pourra s’y référer pour consulter un ou plusieurs points particuliers.

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KEYWORDS

compactness   |   connectedness   |   fixed-point theorems   |   topological concepts

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af120


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3. Suites de points et de sous-ensembles

3.1 Suites de points

Dans un espace métrique les suites (dénombrables) de points suffisent pour en caractériser les propriétés topologiques. Les suites généralisées de points ne sont donc pas utiles.

Dans les espaces métriques les suites de points se traitent de manière presque similaires que dans les espaces euclidiens (p. 3 de ).

HAUT DE PAGE

3.1.1 Suites de points convergentes

Définition (suite de points convergente). Dans un espace métrique (E,d), une suite de points est convergente (convergent point sequence) vers le point limite x si la suite de nombres réels positifs converge dans vers 0 (p. 250 de ).

Dans un espace métrique (E,d), une suite de points convergente n’a qu’un seul point limite (p. 67 de ).

Dans un espace métrique (E,d), pour deux suites de points

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) -   Dimension and Extensions,  -  North Holland, 331 pages (1993).

  • (2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) -   Introduction to Topology Pure and Applied,  -  Pearson, 507 pages (2008).

  • (3) - ADAMSON (I.T.) -   A General Topology Workbook,  -  Springer, 152 pages (1993).

  • (4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) -   Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,  -  Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).

  • (5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) -   Topics on Analysis in Metric Spaces,  -  Oxford University Press, 133 pages (2004).

  • (6) - APPERT (A.) -   Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles ouverts, fermés, denses en soi,...

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Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.

2/ Test de validation

Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.

Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.


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