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1 - RELATIONS BINAIRES

  • 1.1 - Relations et relations inverses
  • 1.2 - Propriétés des relations
  • 1.3 - Autres propriétés des relations
  • 1.4 - Opérations sur les relations
  • 1.5 - Relations d’équivalence

2 - ESPACES ORDONNÉS I

  • 2.1 - Relations d’ordre
  • 2.2 - Espaces totalement ordonnés et espaces partiellement ordonnés
  • 2.3 - Espaces pré-ordonnés
  • 2.4 - Intervalles, gaps, densité et dispersion
  • 2.5 - Espaces partiellement ordonnés localement finis
  • 2.6 - Quotient d’un espace pré-ordonné
  • 2.7 - Espaces ordonnés préfixés

3 - ÉLÉMENTS PARTICULIERS

  • 3.1 - Éléments indiscernables et incomparables
  • 3.2 - Majorants et minorants
  • 3.3 - Suprema et infima
  • 3.4 - Maxima et minima
  • 3.5 - Éléments compacts
  • 3.6 - Compléments et pseudo-compléments
  • 3.7 - Orthocompléments
  • 3.8 - Atomes et co-atomes

4 - SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS

  • 4.1 - Sous-ensembles majorés et minorés
  • 4.2 - Sous-ensembles bornés
  • 4.3 - Sous-ensembles dirigés
  • 4.4 - Sous-ensembles co-initiaux, co-finaux et résiduels
  • 4.5 - « Downsets » et « uppersets »
  • 4.6 - Filtres d’ordre et idéaux d’ordre
  • 4.7 - Chaînes et anti-chaînes
  • 4.8 - Ensembles approximatifs

5 - ESPACES ORDONNÉS II

  • 5.1 - Espaces bien ordonnés
  • 5.2 - Espaces partiellement ordonnés particuliers

6 - TREILLIS

  • 6.1 - Treillis
  • 6.2 - Treillis complets
  • 6.3 - Treillis compacts
  • 6.4 - Treillis algébriques
  • 6.5 - Treillis continus
  • 6.6 - Treillis distributifs
  • 6.7 - Treillis bornés
  • 6.8 - Treillis complémentés
  • 6.9 - Treillis relativement complémentés
  • 6.10 -  Treillis pseudo-complémentés
  • 6.11 -  Treillis relativement pseudo-complémentés
  • 6.12 -  Treillis orthocomplémentés
  • 6.13 -  Treillis atomiques
  • 6.14 -  Treillis atomistiques
  • 6.15 -  Treillis modulaires
  • 6.16 -  Treillis orthomodulaires
  • 6.17 -  Treillis semi-modulaires
  • 6.18 -  Treillis matroïdes
  • 6.19 -  Treillis géométriques
  • 6.20 -  Treillis projectifs
  • 6.21 -  Treillis de Birkhoff et von Neumann
  • 6.22 -  Treillis de Stone
  • 6.23 -  Treillis de De Morgan
  • 6.24 -  Treillis de Kleene
  • 6.25 -  Treillis de Boole
  • 6.26 -  Treillis de Heyting
  • 6.27 -  Treillis vectoriels de Riesz
  • 6.28 -  Treillis topologiques
  • 6.29 -  Treillis vectoriels topologiques
  • 6.30 -  Treillis vectoriels normés
  • 6.31 -  Treillis vectoriels préhilbertiens

7 - MORPHISMES

  • 7.1 - Préservation, transposition et inversion de l’ordre
  • 7.2 - Homomorphismes et isomorphismes d’ordre
  • 7.3 - Correspondance de Galois
  • 7.4 - Homomorphismes et isomorphismes de treillis
  • 7.5 - Plongements d’ordre
  • 7.6 - Continuité de Scott
  • 7.7 - Théorèmes du point fixe
  • 7.8 - Théorèmes de représentation et de complétion

8 - COLLECTIONS DE SOUS-ENSEMBLES

  • 8.1 - Collections, familles et classes de sous-ensembles
  • 8.2 - Collections non vides, propres et libres
  • 8.3 - Collections transitives
  • 8.4 - Union et intersection de collections
  • 8.5 - Comparaison des collections
  • 8.6 - Collections dominantes, dominées et entrelacées
  • 8.7 - Sous-collections
  • 8.8 - Recouvrements et raffinements

9 - COLLECTIONS DE SOUS-ENSEMBLES II

  • 9.1 - Collections PIP, monotones et isotones
  • 9.2 - Collections FIP et centrées
  • 9.3 - Collections orientées et dirigées
  • 9.4 - Collections stables aux intersections

10 -  PILES DE SOUS-ENSEMBLES

  • 10.1 -  Piles
  • 10.2 -  Ultra-piles
  • 10.3 -  Piles principales
  • 10.4 -  Bases de piles
  • 10.5 -  P-piles
  • 10.6 -  F-piles

11 -  RASTERS DE SOUS-ENSEMBLES

12 -  FILTRES DE SOUS-ENSEMBLES

  • 12.1 -  Filtres
  • 12.2 -  Ultra-filtres
  • 12.3 -  Filtres principaux
  • 12.4 -  Bases de filtres

13 -  IDÉAUX DE SOUS-ENSEMBLES

  • 13.1 -  Idéaux
  • 13.2 -  Idéaux principaux

14 -  PRÉGRILLES ET GRILLES DE SOUS-ENSEMBLES

15 -  COLLECTIONS DE SOUS-ENSEMBLES PARTICULIÈRES

  • 15.1 -  Collections de Moore
  • 15.2 -  Collections de Sierpiński
  • 15.3 -  Collections de Sperner
  • 15.4 -  Collections de Helly

16 -  ANNEAUX ET SIGMA-ANNEAUX DE SOUS-ENSEMBLES

  • 16.1 -  Anneaux de sous-ensembles
  • 16.2 -  Sigma-anneaux de sous-ensembles

17 -  ALGÈBRES ET SIGMA-ALGÈBRES DE SOUS-ENSEMBLES

18 -  DIVERSITÉ DES CHAMPS APPLICATIFS

  • 18.1 -  Théorie des espaces vectoriels ordonnés
  • 18.2 -  Théorie des ensembles approximatifs
  • 18.3 -  Théorie des domaines
  • 18.4 -  Théorie de la convergence
  • 18.5 -  Combinatoire
  • 18.6 -  Prétopologie

19 -  CONCLUSION

20 -  GLOSSAIRE

Article de référence | Réf : AF94 v1

 Piles de sous-ensembles
Théorie des ensembles ordonnés

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021

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RÉSUMÉ

La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.

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ABSTRACT

Ordered Set Theory

The theory of ordered sets is a sub-branch of the set theory that deals with the concept of order using the binary relations. The notions of order are present everywhere in mathematics and in many other scientific disciplines, as well as in the fields of engineering. The first part of this article covers the different types of order relations leading to the ordered spaces, on their particular elements and special subsets, the lattices (complete, bounded, distributive...) and applications between ordered spaces. The second part focuses on collections of subsets of a given ambient set by presenting the main properties, then the most used categories of collections. The notions are illustrated by examples and counter-examples.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.

Préambule

La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].

La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).

La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).

Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).

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KEYWORDS

set theory   |   order relation   |   lattices   |   stacks

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af94


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10.  Piles de sous-ensembles

10.1  Piles

Définition (pile de sous-ensembles (Grimeisen, 1960)). Soit E un ensemble non vide. Une pile de sous-ensembles (subset stack) de E, notée , est une collection (non nécessairement non vide) de sous-ensembles de E satisfaisant l’axiome d’isotonie (Fi ) (p. 57 de , p. 36 de , p. 95 de , p. 388 de , p. 6 de ). La pile est dite propre (proper subset stack) si elle satisfait en plus l’axiome (FA ) et ainsi l’ensemble ambiant (p. 100 de ).

Ainsi, une pile de sous-ensembles d’un ensemble E non vide est un upperset pour l’inclusion ensembliste .

La classe de toutes les piles (resp. piles non vides et propres) de sous-ensembles d’un ensemble E non vide est notée (resp. ) (p. 95 de , p. 28 de , p. 166 de ).

En particulier, les collections de sous-ensembles , et d’un ensemble E non vide sont des piles ; la deuxième étant propre, la première non vide (p. 6 de , p. 18 de ).

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ALLAM (A.A), BAKEIR (M.Y.), ABO-TABL (E.A.) -   Some methods for generating topologies by relations,  -  Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2), Vol. 31, No.1, pp. 35-45 (2008).

  • (2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) -   Distributive Lattices,  -  University of Missouri Press (1974).

  • (3) - BARAN (M.) -   Closure operators in convergence spaces,  -  Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).

  • (4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) -   Convergence,  -  Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).

  • (5) - BIRKHOFF (G.) -   Lattice Theory,  -  Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).

  • (6) - BLYTH (T.S.) -   Lattices...

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