Article de référence | Réf : AF99 v1

Espaces métriques. Espaces complets
Topologie et mesure

Auteur(s) : Gilles GODEFROY

Date de publication : 10 avr. 2003

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Auteur(s)

  • Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS

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INTRODUCTION

Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].

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De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af99


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1. Espaces métriques. Espaces complets

Soit E un ensemble. Une distance d sur E est une application :

qui vérifie les trois conditions suivantes :

  • (i)

  • (ii) pour tous x et y.

  • (iii) pour tous x, y et z.

La quantité est appelée la distance entre x et y. Un espace métrique est un couple , où d est une distance sur E, c’est-à-dire un ensemble E muni d’une métrique d.

Exemple

Soit est la distance ou métrique usuelle sur .

Plus généralement, si et , sont deux éléments de

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