Approximation des courbes et des surfaces
Géométrie des ensembles euclidiens : aspects analytiques, aléatoires et hypertopologiques

1 - Géométrie différentielle

• 1.1 - Variétés différentielles
• 1.2 - Variétés orientables
• 1.3 - Tangentes, normales et courbures d’une courbe planaire
  Figure 1 - Droite tangente (en rouge) à une courbe (en noir) (d’après Wikipedia®) Figure 2 - Une deltoïde possède trois points de rebroussement (d’après Wikipedia®) Figure 3 - Point d’inflexion à une courbe marquant la transition d’une concavité locale à une convexité locale Figure 4 - Cercle osculateur en un point P de la courbe c : son rayon est r et est le rayon de courbure à la courbe c en P (d’après Wikipedia®)
• 1.4 - Tangentes, normales, binormales à une courbe spatiale
  Figure 5 - Courbe spatiale gauche (en noir) et ses projetés sur le plan osculateur (en brun), le plan normal (en bleu) et le plan rectifiant (en vert) pour une torsion positive au voisinage du point M0 de la courbe (d’après Wikipedia®) Figure 6 - Hélice circulaire (en rouge) inscrite dans un cylindre droit (en noir)
• 1.5 - Plans tangents, normales et courbures d’une surface spatiale
  Figure 7 - Le plan (en bleu transparent) est tangent à la surface (en rouge) au point d’où sort le vecteur normal extérieur (d’après Wikipedia®) Figure 8 - Exemple de surfaces avec des courbures de Gauss négative, nulle et positive (d’après Wikipedia®)
• 1.6 - Classification des points sur une surface
  Figure 9 - Classification des points sur une surface régulière selon les signes de la courbure de Gauss K et la courbure de Germain H : points elliptiques, points hyperboliques, points paraboliques et points planaires
• 1.7 - Courbes rectifiables et continua
• 1.8 - Corps convexes

2 - Théorie de la dimension II : dimensions « métriques »

• 2.1 - Dimension de Hausdorff- Besicovitch
• 2.2 - Dimension de Minkowski-Bouligand
• 2.3 - Méthode du compas de Richardson-Mandelbrot
  Figure 10 - Application de la méthode du compas à la côte de Grande-Bretagne
• 2.4 - Méthode de comptage des boîtes
  Figure 11 - Recouvrement de la côte de Grande-Bretagne par des grilles carrées de taille de maille décroissante

3 - Géométrie intégrale

• 3.1 - Mesure de Favard
• 3.2 - Formule de Cauchy-Crofton
  Figure 13 - Formule de Cauchy-Crofton dans le plan euclidien …
• 3.3 - Projections
• 3.4 - Sections
  Figure 14 - Ensemble de Kakeya dans le plan euclidien : aiguille représentée en rotation à l’intérieur d’un deltoïde

4 - Géométrie distributionnelle

• 4.1 - Périmètre distributionnel et ensemble de Caccioppoli
• 4.2 - Propriétés
• 4.3 - Frontière réduite

5 - Géométrie fractale

• 5.1 - Définitions et propriétés
• 5.2 - Exemples d’ensembles fractals
  Figure 15 - Flocon de von Koch Figure 16 - Éponge de Menger après les quatre premières itérations en partant initialement d’un cube (d’après Wikipedia®)
• 5.3 - Projections, sections et intersections

6 - Géométrie stochastique

• 6.1 - Ensembles fermés aléatoires
  Figure 17 - Réalisation d’un ensemble fermé aléatoire en dimension 2 dans un cadre rectangulaire
• 6.2 - Champs ponctuels aléatoires
  Figure 18 - Réalisation d’un champ aléatoire ponctuel en dimension 2 dans un cadre rectangulaire
• 6.3 - Champs aléatoires de particules
  Figure 19 - Réalisations de deux champs aléatoires avec différents types de particules ; disques (à gauche) et segments de droites (à droite)
• 6.4 - Champs aléatoires booléens
  Figure 20 - Réalisation d’un champ aléatoire booléen de boules dans un cube

7 - Stéréologie

• 7.1 - Problème inverse
  Figure 21 - Sections d’un champ aléatoire de boules
• 7.2 - Méthode stéréologique
  Figure 22 - Relation entre les caractéristiques structurelles géométriques et les sondes correspondantes
• 7.3 - Fonctionnelles stéréologiques
• 7.4 - Formule polynomiale de Steiner
  Figure 23 - Volumes intrinsèques en dimension 3 : nombre de connectivité, aire surfacique, ampleur moyenne et volume

8 - Géométrie discrète

9 - Géométrie calculatoire

10 - Géométrie probabiliste

11 - Géométrie statistique

12 - Géométrie variationnelle

13 - Autres géométries

• 13.1 - Géométrie analytique
• 13.2 - Géométrie synthétique
• 13.3 - Géométrie projective
  Figure 34 - Projections : perspective issue d’un point, projection orthographique, projection isométrique, et projection oblique (d’après Wikipedia®)
• 13.4 - Géométrie descriptive
  Figure 35 - Description d’un cube par ses arêtes et ses diagonales

14 - Espaces d’ensembles euclidiens

• 14.1 - Collections de sous-ensembles euclidiens
• 14.2 - Espaces de sous-ensembles
  Figure 36 - Distance de Fréchet-Nikodym-Aronszajn dFNA entre deux sous-ensembles du plan euclidien … Figure 37 - Ensemble rectifiable de dimension 2 Figure 38 - Distance de Pompéiu-Hausdorff dPH entre deux sous-ensemble X et Y du plan euclidien … Figure 39 - Exemple de la différence entre la distance de Pompéiu-Hausdorff dPH et la distance de Edwards-Gromov dEG entre deux sous-ensembles A et B du plan euclidien …
• 14.3 - Convergence de suites de sous-ensembles
  Figure 40 - Convergence au sens de la distance de Pompéiu-Hausdorff dPH dans … Figure 41 - Distance de Pompéiu-Hausdorff dPH vs distance de Fréchet-Nikodym-Aronszajn dFNA : leurs comportements sont très différents, voire opposés
• 14.4 - Continuité et semi-continuités de certaines fonctionnelles
  Figure 42 - Suite alternée de sous-ensembles du plan euclidien … Figure 43 - Convergence de courbes au sens de Pompéiu-Hausdorff et convergence/divergence de leurs longeurs

15 - Approximation des courbes et des surfaces

• 15.1 - Longueur de Jordan
• 15.2 - Paradoxe de l’escalier
  Figure 44 - Paradoxe de l’escalier
• 15.3 - Aire surfacique de Jordan
• 15.4 - Paradoxe de la lanterne de Schwarz
  Figure 45 - Lanterne de Schwartz
• 15.5 - Aire surfacique de Lebesgue
• 15.6 - Paradoxe du littoral
  Figure 46 - Exemple du paradoxe du littoral

16 - Frontières des ensembles euclidiens

• 16.1 - Frontière topologique
• 16.2 - Frontière morphologique
• 16.3 - Frontière au sens de la théorie de la mesure géométrique
• 16.4 - Frontière réduite
  Figure 47 - Exemple d’ensemble de Caccioppoli du plan euclidien …

17 - De la géométrie à l’analyse fonctionnelle

• 17.1 - Fonctions indicatrices
• 17.2 - Fonctions distances signées
  Figure 48 - Fonctions de distance signée d’un sous-ensemble du plan euclidien …
• 17.3 - Fonctions distance signées versus fonctions indicatrices
• 17.4 - Autres distances dans …

18 - Discussion