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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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8. Géométrie discrète
Le quinzième cadre mathématique général est celui de la géométrie discrète (Discrete Geometry) qui est une branche de la géométrie, dénommée ainsi pour la distinguer de la « géométrie continue » (Continuous Geometry).
Par exemple, la géométrie continue en deux dimensions permet de définir des droites, des cercles dans un plan euclidien
, comme des ensembles de points avec comme coordonnées des couples de nombres réels, alors que la géométrie discrète traite d’ensembles de points à coordonnées entières ou de cellules (typiquement des carrés en dimension 2 et des cubes en dimension 3) qui constitueront des droites ou des cercles dits discrets.
La discrétisation (discretization) (figure 24) est la « transposition » d’un objet géométrique continu en un équivalent ou approximant discret.
trois problèmes concrets problèmes classiques furent : l’obtention d’une enveloppe convexe (convex hull) (détermination du plus petit polyèdre/polygone convexe contenant un ensemble fini de points) (figure 25), la détermination d’un diagramme de Voronoï (Voronoï diagram) (figure 26) (pavage d’une zone planaire en cellules adjacentes à partir d’un ensemble fini de points appelés « germes »), la génération de maillage (mesh generation) (création d’une subdivision d’une zone « continue » du plan en cellules discrètes) (figure 27).
En géométrie, une variété digitale (digital manifold) est un type particulier de variété discrète définie dans l’espace discret déterminé par les cellules d’une grille.
Remarque (géométrie finie) : une géométrie finie (finite geometry) est un système...
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BIBLIOGRAPHIE
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