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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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5. Géométrie fractale
Le douzième cadre mathématique général est celui de la géométrie fractale (Fractal Geometry) qui traite des ensembles fractals, c’est-à-dire les sous-ensembles fractionnaires de
qui possèdent une structure spatiale qui suit une règle déterministe ou probabiliste impliquant une auto-similarité interne. Un ensemble fractal est « infiniment morcelé », avec des détails qui sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de d’un tel sous-ensemble, il est possible de retrouver tout le sous-ensemble, qui est alors dit « auto-similaire ».
5.1 Définitions et propriétés
Informellement, un sous-ensemble de
fractal est tel que :
(i) Ses parties à toutes les échelles spatiales sont similaires, strictement ou approximativement, au sous-ensemble lui-même (ou une de ses parties) ;
(ii) Il est extrêmement irrégulier à toutes les échelles spatiales. Il est infiniment fragmenté (c’est-à-dire qu’il présente des détails à chaque échelle spatiale) ;
(iii) Il contient une configuration géométrique particulière discernable à toutes les échelles spatiales ;
(iv) Il se définit d’une manière très simple, soit directement, soit itérativement.
Plus formellement :
Définition (ensemble fractal). Un ensemble fractal (fractal set) est souvent défini comme ayant une dimension de Hausdorff strictement supérieure à sa dimension topologique (cf. supra).
HAUT DE PAGE5.2 Exemples d’ensembles fractals
Un flocon de von Koch (von Koch’s snowflake) (figure 15) s’obtient en partant d’un triangle équilatéral (l’initiateur)....
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BIBLIOGRAPHIE
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
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(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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