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Auteur(s)
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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7. Stéréologie
Le quatorzième cadre mathématique général est celui de la stéréologie (Stereology) qui est une branche des mathématiques, et plus précisément de la géométrie associée à la théorie des probabilités (Probability Theory). La stéréologie moderne est basée historiquement sur la géométrie intégrale (Integral Geometry) (première moitié du XXe siècle) et les statistiques spatiales (Spatial Statistics) et plus récemment (fin du XXe siècle) sur la géométrie stochastique (Stochastic Geometry).
7.1 Problème inverse
La stéréologie traite de l’estimation quantitative des informations géométriques dans les espaces euclidiens de dimension n (n ≥ 1) à partir d’échantillons spatiaux de dimensions strictement inférieures à n, obtenus par intersections ou/et par projections.
Une dispersion de boules en 3D (figure 21a), une coupe planaire transversale de la dispersion, coupant les particules (figure 21b), et une ligne d’interception passant à travers les particules (figure 21c) sont des sections d’un champ aléatoire de boules.
HAUT DE PAGE7.2 Méthode stéréologique
La méthode stéréologique (stereological method) à appliquer pour étudier un ensemble euclidien particulier peut se résumer par le vocabulaire stéréologique (stereological terminology) suivant :
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les attributs (features) : l’ensemble est constitué de sous-ensembles ou/et d’attributs géométriques spatiaux spécifiques (par exemple, particules, surfaces, courbes, faces, arêtes ou points) ;
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les propriétés (properties) : chaque attribut géométrique possède des propriétés qui peuvent être mesurées ou au moins estimées, comme les grandeurs géométriques (par exemple, longueur, périmètre, aire surfacique ou volume) ou topologiques (par exemple, le nombre de Descartes-Euler-Poincaré...
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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