Méthodes directes d’optimisation - Méthodes à une variable et Simplex

L’optimisation est un ensemble de techniques permettant de trouver les valeurs des variables qui rendent optimale une fonction de réponse, appelée aussi fonction objectif. Sur le plan mathématique, cela correspond à la recherche des extrémums de fonctions à plusieurs variables. Dans le domaine des sciences appliquées, il s’agit en général de trouver l’optimum de la réponse d’opérations industrielles ou d’expériences de laboratoire.

L’objectif de l’optimisation est représenté sur les figures 1 a et b ; sur la figure a, la réponse y est fonction d’une seule variable, x, et l’on recherche la valeur, x_max, comprise entre les bornes x_A et x_B qui rend optimale la valeur de la réponse y.

Sur la figure b, la fonction objectif dépend de deux variables x₁ et x₂ ; elle est représentée sous la forme de courbes de niveaux ou courbes d’isoréponses. On recherche alors les coordonnées, x_1max et x_2max, qui correspondent à la valeur optimale de y.

Une fonction objectif peut être :

• le rendement d’une opération (maximum) ;

• la pureté d’un produit (maximum) ;

• la concentration en un produit (maximum ou minimum suivant qu’il s’agit du produit attendu ou d’une impureté indésirable) ;

• le coût d’une opération (minimum) ;

• l’efficacité d’une séparation (maximum), en chromatographie par exemple ;

• les caractéristiques du produit (maximum, minimum ou valeur nominale), etc.

La fonction objectif peut aussi être la somme, pondérée ou non, de plusieurs réponses. Ce sera le résultat observé, ou mesuré, de l’opération effectuée, que ce soit une analyse, une synthèse chimique, une extraction, une formulation, etc.

Dans tous les cas, la valeur de la réponse est subie par l’expérimentateur.

La fonction objectif dépend d’un certain nombre de facteurs. On peut définir trois types de facteurs :

• les facteurs aléatoires ;

• les facteurs qui seront maintenus à un niveau donné tout au long des expérimentations ;

• les facteurs dont on désire faire varier la valeur au cours des différentes expérimentations ; elles seront nommées variables.

Les variables peuvent être par exemple :

• le pH ou la température du milieu réactionnel ;la concentration, la masse ou le volume de réactifs ;le débit d’introduction de solvants, etc.

Il est évidemment nécessaire que les valeurs des variables évoluent indépendamment les unes des autres.

Dans tous les cas, la valeur de la variable est imposée par l’expérimentateur.

Pour pouvoir mettre en œuvre toute technique d’optimisation, il faut être capable de maintenir les variables et les facteurs constants aux niveaux désirés. Il est donc souhaitable que les méthodes d’optimisation soient mises en œuvre conjointement avec des techniques d’automatisation, de régulation et de contrôle.

Il existe de très nombreuses méthodes d’optimisation [1] à [13]. La plupart d’entre elles ont été créées pour traiter le problème mathématique consistant à trouver l’extrémum de fonctions multivariables, non linéaires et soumises, ou non, à des contraintes. Certaines techniques ont été étudiées dans le but de donner aux expérimentateurs une possibilité rationnelle de déterminer les optimums de fonctionnement de leurs systèmes physiques.

Les méthodes d’optimisation peuvent être classées en fonction du type d’étude que l’on souhaite mener.

• Premier cas : le phénomène physique est suffisamment connu pour qu’il soit possible de créer un modèle représentatif du phénomène. On recherchera alors les extrémums de ce modèle de connaissance par les voies classiques (dérivation, méthode de Lagrange).

• Deuxième cas : le phénomène étudié est trop complexe pour en déterminer un modèle physiquement significatif. On désire alors seulement obtenir une relation entre les variables et la réponse, qui soit représentative du phénomène étudié. On postulera alors une représentation mathématique empirique sous forme d’une corrélation dont les paramètres seront ensuite déterminés afin de déduire les variables vraiment influentes et de calculer a priori les valeurs de la fonction objectif ; on utilisera ensuite des méthodes d’optimisation pour déterminer l’optimum de fonctionnement. Dans ce cas, on dit qu’il s’agit d’une méthode indirecte d’optimisation puisqu’il faut au préalable avoir un modèle mathématique.

• Troisième cas : on désire connaître uniquement les conditions de fonctionnement optimal sans rechercher une représentation mathématique du phénomène. Dans ce cas, il s’agit d’une méthode directe d’optimisation puisqu’elle ne nécessite aucun modèle mathématique.

Dans cet article, nous décrivons uniquement le troisième cas. Le traitement du premier cas dépend directement du processus étudié et du modèle physique correspondant. On rattache à ce type l’optimisation en chromatographie, par les diagrammes à fenêtres qui impliquent l’utilisation d’une relation linéaire connue entre la réponse et les variables [14] [15]. Le deuxième cas, quant à lui, a été décrit dans les Techniques de l’Ingénieur [16] [17].

Nous exposerons d’abord les méthodes à une variable et ensuite les méthodes à plusieurs variables.

L’article se compose de deux parties :

• la première, Méthodes directes d’optimisation- Méthodes à une variable et Simplex , est consacrée aux méthodes à une variable et à la méthode Simplex ;

• dans la deuxième, Méthodes directes d’optimisation- Méthodes dérivées de la méthode Simplex, sont traitées les méthodes dérivées de la méthode Simplex.

Les références bibliographiques sont regroupées dans Plans d’expériences.