Familles sommables

La loi d’addition sur les scalaires ou les vecteurs vérifie certaines propriétés, telles que l’associativité et la commutativité, qui permettent de définir naturellement les sommes de familles finies, auxquelles les propriétés de l’addition, considérée comme opération binaire, s’étendent aisément. Les difficultés surviennent lorsque l’on envisage d’étendre la sommation à des familles infinies discrètes, dont l’archétype est la suite indexée par $\mathbb{N}$ . Si l’on veut en effet que cette sommation soit d’un usage commode, on doit lui conserver les propriétés de la sommation finie : associativité, commutativité par exemple. Une telle conservation est possible au prix d’une certaine limitation des familles étudiées.

Pour ce faire, on étudie, dans un premier temps, les familles positives, pour lesquelles il n’existe qu’un phénomène d’accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d’attribuer à la famille une somme, finie ou infinie. On se limite ensuite à l’étude des familles, scalaires ou vectorielles, dont la famille des modules (ou des normes) a une somme finie. Il n’est alors pas difficile d’attribuer à la famille initiale une somme scalaire (ou vectorielle) qui possède toutes les vertus souhaitables : c’est la théorie des familles sommables, qui fait l’objet du présent article.

Lorsque la famille n’est pas sommable, on devra développer une théorie ad hoc qui prenne en compte le problème d’origine. Très fréquemment, la façon dont la famille est indexée founit une indication. Si des charges électriques équidistantes sont disposées sur une demi-droite, rien n’est plus naturel que de les numéroter, c’est-à-dire de les indexer par $\mathbb{N}$ . Si l’on considère le potentiel développé en un point, par exemple l’origine de la demi-droite, on pourra considérer d’abord la somme des potentiels correspondant aux n premières charges, puis examiner la limite de ces sommes lorsque n tend vers l’infini. Cette façon de voir conduit à la théorie des séries, évoquée dans l’article « Procédés sommatoires » [AF 73].

Lorsque ce procédé diverge (c’est-à-dire ne permet pas d’attribuer une somme à la suite), on peut étudier la suite des moyennes arithmétiques des termes de la suite (procédé de Cesaro), ou encore introduire la série entière génératrice associée à la suite, puis examiner la limite de cette série entière lorsque la variable tend vers 1. On obtient alors le procédé de sommation d’Abel.

Ces procédés et d’autres, analogues, présentent une certaine cohérence, en ceci qu’en cas de convergence de deux procédés, les sommes attribuées seront égales, y compris lorsque la « somme » est $+\mathrm{\hspace{0.17em}}\infty$ , dans le cas des familles posi-tives. Il existe cependant d’autres méthodes, qui permettent d’attribuer des sommes finies à des familles positives dont la somme usuelle serait infinie.