Procédés sommatoires - Les séries

Auteur(s) : Bernard RANDÉ

Date de publication : 10 oct. 2003 | Read in English

Cet article est réservé aux abonnés

Pour explorer cet article plus en profondeur Consulter l'extrait gratuit

Déjà abonné ?Se connecter

Sommaire
Médias

Présentation

1 - Les séries

1.1 - Définitions
1.2 - Séries absolument convergentes
1.3 - Critère de Leibniz
1.4 - Procédé d’Abel
1.5 - Permutation de termes
1.6 - Regroupement de termes
1.7 - Produit de convolution de deux séries

2 - Calculs de sommes de séries

2.1 - Télescopages
2.2 - Utilisation de séries entières dans le disque de convergence
2.3 - Utilisation de séries entières sur le bord du disque de convergence
2.4 - Utilisation de développements asymptotiques
2.5 - Utilisation de développements eulériens
2.6 - Utilisation de séries de Fourier

Présentation

RÉSUMÉ

Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Cet article présente la notion de somme pour des séries numériques, qui sont l'exemple le plus élémentaire pour les procédés de sommation. Des méthodes d'étude de la convergence sont abordées, avec également des exemples de calcul exact pour des sommes de ces séries numériques.

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

Auteur(s)

Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand

INTRODUCTION

Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu’elle ne l’est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l’indexation de l'ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu'il s’agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s’agit soit d’une série indexée par $ℕ$ , soit même de la limite de sommes symétriques.

Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l’exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d’étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.

Dans l'article « Développements asymptotiques » seront abordés les procédés d’évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d’autres procédés de sommation.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92 % à découvrir.

Pour explorer cet article Consulter l'extrait gratuit

Déjà abonné ? Se connecter