Analyse et contrôle de systèmes d'EDPs - Cas du transfert

Les phénomènes de transfert sont des processus physiques qui décrivent la manière dont différentes quantités physiques se déplacent et se propagent à travers l’espace et le temps. Ces quantités peuvent être la chaleur, la masse, la quantité de mouvement, la charge électrique, le potentiel électrique, la concentration, et bien d’autres encore. Les phénomènes de transfert sont donc étudiés dans de nombreux domaines de la physique tels que la mécanique des fluides, la thermodynamique, la physique des matériaux, la physique des particules et la chimie. De ce fait, ils constituent des éléments essentiels de l’ingénierie. Par exemple, le transfert de chaleur est un phénomène de transport essentiel pour la conception de systèmes de refroidissement et de chauffage. La diffusion des molécules à travers une membrane est aussi un phénomène de transport crucial pour le fonctionnement des cellules vivantes et joue donc un rôle clé en bio-ingénierie et en médecine.

La compréhension, le contrôle et l’observation de systèmes faisant intervenir des phénomènes de transport s’avèrent essentiels pour résoudre des problèmes pratiques dans de nombreux domaines. En général, les quantités transportées font intervenir des grandeurs qui varient en fonction de la position spatiale et du temps. Ainsi, les modèles sont-ils en général donnés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). Il faut donc utiliser des outils adaptés à ce type de système. L’automatique pour des systèmes décrits par des EDPs a fait l’objet d’une attention particulière ces dernières années. De nombreuses techniques ont été développées à ce sujet. Dans cet article, nous donnons un panorama des différentes méthodes permettant de concevoir des lois de commande pour des phénomènes de transport décrits par des EDPs. L’article est structuré de la façon suivante. Dans un premier temps, nous présentons les méthodes usuelles pour obtenir un modèle mathématique représentatif de ces phénomènes. Dans un deuxième temps, nous donnons les différents éléments d’analyse pour étudier le comportement d’un tel système. La troisième section adresse la problématique de commande pour des systèmes d’équations aux dérivées partielles avant de finalement conclure.