Quaternions

L’utilisation des nombres complexes (de la forme a + ib, avec a et b réels et i² = – 1, permet de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρe^iθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ.

La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement tenté un certain nombre de mathématiciens. La difficulté provenait du fait qu’ils cherchaient à résoudre cette question en respectant simultanément deux contraintes :

• conservation de la validité des règles habituelles du calcul algébrique (associativité et commutativité de l’addition et de la multiplication, distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, etc.) ;

• aptitude du nouveau concept à l’étude des rotations autour de l’origine.

Ce fut le mathématicien et astronome irlandais Hamilton qui réussit en 1843, après une dizaine d’années de recherches, à dégager les points suivants, aboutissant ainsi à la découverte des quaternions [1] [2] [3] :

• la généralisation des doublets (a, b) représentant les nombres complexes ne peut pas être faite au moyen de triplets (a, b, c) pour des raisons d’ordre purement algébrique ; par contre, cette généralisation peut être effectuée au moyen de quadruplets (a, b, c, d) ;

• l’algèbre recherchée doit présenter un caractère non commutatif traduisant la non-commutativité (en général) des produits de rotations autour d’un point, dans l’espace à trois dimensions.

Hamilton réussit ainsi à définir un ensemble de nombres à quatre composantes, présentant une structure de corps non commutatif (cf article Langages des ensembles et structures [AF 33] dans le présent traité), que lui-même et ses élèves appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage et de navigation, par exemple à propos des systèmes inertiels à composants liés [7].

L’objet de cet article est de rappeler la définition des quaternions, de montrer comment ils peuvent être associés à des vecteurs à trois dimensions et être utilisés dans la représentation des rotations.

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