Espaces préhilbertiens

De nombreux problèmes admettent une interprétation variationnelle , c’est-à-dire une formulation dans laquelle une solution du problème traité réalise un extremum pour une certaine fonctionnelle, par exemple l’énergie. Ce point de vue est issu de la physique, mais est très fréquemment rencontré dans d’autres sciences et notamment en mathématiques. D’autre part, un problème posé sous forme d’une équation ϕ ( x ) = 0 peut ne pas admettre de solution exacte, et la recherche de solutions approchées conduit là encore à s’intéresser à des objets qui minimisent ϕ , lorsque cette fonction ne s’annule pas : il en est ainsi de la méthode des moindres carrés .

La recherche des extremums d’une fonction présente de nombreuses facettes, mais les deux exemples que nous avons donnés renvoient à un cadre dans lequel la distance est de nature quadratique. Dans le cas de la méthode des moindres carrés, on minimise une norme euclidienne. Le cadre est donc celui des espaces de dimension finie, où la notion de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie est facile à comprendre et à détailler. Dans le cas du minimum de l’énergie, on est conduit à minimiser une fonctionnelle du type ${\displaystyle \int {\left|f\right|}^2}$ , où l’argument est une fonction f , réelle ou complexe, dont l’argument est une variable spatiale ou temporelle, cette fonction décrivant un certain ensemble D défini par les contraintes du problème. En intégrant ${\left|f\right|}^2$ sur un domaine spatial ou temporel, on définit une quantité qui, lorsque f décrit D , doit être minimisée.

Une telle fonctionnelle dérive en réalité d’un produit scalaire préhilbertien réel ou complexe, et l’on constate que chercher le minimum de ${\displaystyle \int {\left|f\right|}^2}$ sur ...