Analyse combinatoire approfondie

La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’équivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini à n éléments, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on préfère le nombre de relations d’équivalence à k classes sur N, noté S(n,k), n’est autre que le célèbre nombre de Stirling de seconde espèce. Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algèbre, en analyse, en probabilités, en statistique… Il en sera fait ici une étude particulièrement détaillée.

La notion de partition d’un entier n est de nature plus théorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque généralisation du fameux problème de l’échange de monnaie : de combien de manières peut-on réaliser un montant de n francs avec des pièces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les séries entières, on n’arriverait à rien, comme Euler l’a montré. Cette théorie, dans sa généralité, touche au moins autant à l’arithmétique qu’à la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu.

Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force détails, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de première espèce s(n,k), les nombres eulériens A(n,k) qui comptent les permutations de $\left[1,\mathrm{\hspace{0.17em}}n\right]$ par montées, les nombres tangents a_2n+1, coefficients de Taylor du développement en série entière de :$\tan \left(x\right)={\displaystyle \sum _{n\ge 0}{a}_{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)\mathrm{ }\mathrm{!}},}$

qui comptent les permutations alternantes de $\left[1,\mathrm{\hspace{0.17em}}n\right]$, etc.

Le sujet « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs articles :

• [AF 200] « Analyse combinatoire élémentaire » ;

• [AF 201] « Analyse combinatoire avancée » ;

• [AF 202] « Analyse combinatoire...