Analyse combinatoire élémentaire

L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis , traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme).

Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique.

Cette science de l’ Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y) ⁿ au moyen de son triangle qu’il appelait alors «  triangle mystique  ». Mais bien d’autres savants du XVII  ^e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz , Newton , Wallis , Jacques Bernoulli et Moivre … Après cela, les XVIII  ^e et XIX  ^e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX  ^e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’ André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950.

L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique «  Analyse combinatoire  » on est passé à la «  Combinatoire  », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la «  Combinatorique ...