Mathématiques de l'assurance

L’importance économique de l’assurance ne cesse de croître dans les pays développés. Les assureurs proposent régulièrement à leurs clients de nouveaux types de contrats permettant de couvrir de nouveaux risques ou d’améliorer la couverture de risques déjà connus. Cela suppose une ingénierie assurantielle constamment mise à jour et susceptible de prendre en compte les différentes facettes de cette activité qui fait appel à plusieurs disciplines ou techniques, telles que les mathématiques, la statistique, le droit, l’économie, la comptabilité… Dans cet article traitant des mathématiques de l’assurance, on s’intéressera à des aspects quantitatifs qui sont traditionnellement pris en charge par les actuaires, ingénieurs spécialisés dans les techniques assurantielles et financières. L’étendue du sujet, dont on peut se convaincre par le nombre de publications et de références sur le Web, impose de se limiter à quelques thèmes importants.

Toute opération d’assurance commence par la signature d’un contrat entre un assureur et un assuré. Ce contrat prévoit un paiement immédiat et certain, la prime d’assurance, en échange d’un paiement futur et aléatoire qui sera concrétisé par des indemnités versées à l’assuré en compensation des sinistres survenus pendant la période de validité du contrat.

Il y a donc transfert de risque de l’assuré à l’assureur. La viabilité de cette opération n’est possible que par la mutualisation de nombreux risques au sein de l’entreprise d’assurance, ce qui permet une certaine compensation statistique, sans toutefois éliminer complètement les fluctuations du montant total des sinistres, objet des paiements futurs. Il en résulte que le risque supporté par l’assureur nécessite d’abord l’évaluation de la prime qui doit être suffisante pour faire face au coût moyen des sinistres, ainsi qu’aux fluctuations possibles de ce coût. Ces fluctuations, si elles sont d’amplitude exceptionnelles et défavorables, peuvent avoir un impact sur l’équilibre des comptes annuels de l’assureur, voire mettre en danger sa solvabilité. C’est pourquoi, ce dernier ne se contente pas d’évaluer la prime mais s’efforce également d’estimer la loi de probabilité du montant cumulé des sinistres dont la prime, malgré son importance, n’est qu’un indicateur parmi d’autres.

Dans cet article on examinera le problème de l’évaluation de la prime, qui est basée non seulement sur l’analyse de la sinistralité passée, mais aussi sur les principes théoriques de calcul de prime que l’assureur est susceptible de choisir en fonction de critères qui lui sont propres, notamment de son attitude face au risque. Concernant la loi de probabilité du montant cumulé des sinistres, étant donné la taille importante des portefeuilles de risques gérés par les entreprises d’assurances,...