Présentation
RÉSUMÉ
Une « onde solitaire », d’après la définition de John Scott Russel, désigne la propagation d’une onde, sur une longue distance et sans déformation. La théorie linéaire de la propagation d’ondes à la surface de l’eau ne peut expliquer ce phénomène. Cet article décrit tout d’abord un certain nombre de situations expérimentales ayant conduit à l’introduction d’équations non linéaires aux propriétés inhabituelles. Ces familles de solutions mathématiques possèdent des lois de conservation qui expliquent le comportement et la stabilité remarquables des solitons. Est également présentée brièvement la méthode du problème inverse qui permet de résoudre de telles équations et, en particulier, de décrire les solutions solitoniques.
AUTEUR(S)
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Michel TALON : Chargé de recherches au CNRS
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Claude-Michel VIALLET : Directeur de recherches au CNRS
INTRODUCTION
Sommaire
1. Bref historique
2. Quelques exemples
2.1 Ondes de surface et équation de Korteweg-deVries
2.1.1 Approximation linéaire avec dispersion
2.1.2 Approximation non linéaire sans dispersion
2.1.3 Approximation non linéaire avec dispersion: KdV
2.1.4 Soliton
2.2 Ondes dans les plasmas et les fibres optiques
2.3 Solitons dans les chaînes de polyacétylène
2.4 Chaîne de Toda
2.5 Applications
3. Forme de Lax
3.1 Systèmes à un nombre fini de degrés de liberté
3.2 Systèmes continus à un nombre infini de degrés de liberté
3.3 Problème inverse
3.4 Données de diffusion
3.5 Équation de Gelfand-Levitan
3.6 Évolution des données de diffusion
3.7 Notion de hiérarchie
4. Solution à N solitons
4.1 Solution générale à N solitons
4.2 Analyse de la solution à plusieurs solitons
4.3 Comportement de la solution
5. Conclusion
Pour en savoir plus
Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.
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Solitons et systèmes intégrables
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