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RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Solving partial differential equations (PDEs) is at the heart of the understanding of many physical phenomena. From aeronautic simulation to imagery and including weather forecasting, the PDEs are present in many applied fields of engineering and physics. This report analyses certain major equations such as that of Navier-Stokes, Euler, Boltzmann, Helmholtz, Kortweg and De Vries as well as turbulence models.
Auteur(s)
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Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
-
Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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Équation des ondes7. Conclusion
Ce texte ne peut pas, et ne veut pas, être exhaustif. Les choix effectués dépendent crucialement du goût et des compétences de ses auteurs.
La méthodologie utilisée nous a conduit à insister sur les aspects d’échelle (ordre de grandeurs). Les phénomènes distribués présentés ici font appel à des groupement d’échelles sources d’effets non linéaires. L’analyse d’échelles et la réduction dimensionnelle conduisent à des non-linéarités.
Cette figure 3 suit de haut en bas une analyse cartésienne et non historique. Il faut remarquer que ce sont, bien entendu, les équations macroscopiques qui ont été établies les premières. Cela s’illustre bien avec les équations de poutres et plaques établies par Bernouilli, Sophie Germain et Cauchy, avant que ne soient écrites les équations fondamentales de l’élasticité qui se déduisent, elles, de la mécanique newtonnienne.
De même les équations de Navier-Stokes ont été établies bien avant celle de Boltzmann, le rôle primitif de l’équation de Boltzmann étant de conforter l’hypothèse atomique, en particulier en observant que les coefficients de diffusion et dissipation thermiques déduits de cette équation étaient en conformité avec l’observation macroscopique.
De nos jours le rôle des équations cinétiques de type Boltzmann est devenu depuis peu beaucoup plus technologique. Il ne s’agît plus de justifier un modèle moléculaire, mais bien d’appréhender des propriétés fines de milieux raréfiés (rentrée dans l’atmosphère d’un véhicule spatial, propagation du courant dans un dispositif microscopique, ionisation de l’air entre un CD et sa tête de lecture).
Mentionnons pour finir le manque de mathématisation de la théorie de la turbulence, pourtant systématiquement utilisée (météo, etc.) qui se trouve tout à fait en bas de la figure 3.
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Conclusion
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
-
(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
-
(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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