Modèles élémentaires de conduction électronique

1.1 - Introduction à la mécanique quantique

Tableau 1
1.2 - Particules libres dans une boîte de dimension L
1.3 - Interprétation des inégalités de Heisenberg
1.4 - Spin
1.5 - Liaisons chimiques dans un solide
1.6 - Atome d'hydrogène comme modèle des orbitales atomiques

Tableau 2
1.7 - Liaisons covalentes, ioniques, électrons délocalisés

2 - Modèles élémentaires de conduction électronique

2.1 - Modèle classique de Drude Lorentz

Figure 4 - Effet Hall classique Tableau 3 Tableau 4
2.2 - Modèle quantique de Sommerfeld

Tableau 5

3 - Conductivité électrique dans un solide : cristal périodique

3.1 - Réseaux de Bravais et réseaux réciproques
3.2 - Onde de Bloch
3.3 - Bandes d'énergie

4 - Théorie semi-classique du transport

4.1 - Vitesse d'un électron de Bloch
4.2 - Équations semi-classiques du mouvement
4.3 - Conséquences des équations semi-classiques

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

Les propriétés de transport électrique dans les solides découlent en toute logique de celles des électrons dans la matière. Dans une approche essentiellement phénoménologique, il est fait appel au modèle classique de Drude Lorentz et à celui quantique de Sommerfeld. Ce dernier reprend l’hypothèse du premier en y incluant les propriétés quantiques des électrons, introduisant des concepts essentiels comme la densité de charge, le libre parcours moyen ou la densité d'état. Ces modèles permettent de relier les propriétés de transports de charges à d'autres propriétés des solides et notamment celles de transport de la chaleur. Cependant, cette approche s’avère limitée, la théorie des électrons dans un réseau périodique prend alors le relais, avec les concepts fondamentaux de structure de bande, surface d'énergie, masse effective, pour conduire à une écriture semi-classique du transport de charge.

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Auteur(s)

Olivier BOURGEOIS : Docteur en Physique de la matière condensée - Chercheur au Centre national de la recherche scientifique (CNRS)
Hervé Guillou : Docteur en Physique de la matière condensée - Maître de conférences à l'université Joseph Fourier à Grenoble - Chercheur au LIMMS/CNRS-IIS

INTRODUCTION

Après une introduction des propriétés des électrons dans la matière, nous abordons les propriétés de transport électrique dans les solides. Notre approche est ici essentiellement phénoménologique. Le modèle classique de Drude Lorentz et le modèle quantique de Sommerfeld considérant les électrons comme des fermions sont utilisés afin d'introduire des concepts essentiels comme la densité de charge, le libre parcours moyen ou la densité d'état. Au-delà de la loi d'Ohm, ces modèles permettent de relier les propriétés de transports de charges à d'autres propriétés des solides et notamment les propriétés de transport de la chaleur. Les limites de ces modèles phénoménologiques sont soulignées et la théorie des électrons dans un réseau périodique est présentée. Cela nous permet d'introduire les concepts fondamentaux de structure de bande, surface d'énergie, masse effective et de poser une équation décrivant le transport de charge de façon semi-classique. Ces concepts sont utilisés dans le dossier suivant [D 2 602] qui aborde les aspects les plus modernes des propriétés de transport des électrons de manière statistique.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-d2601

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Conductivité électrique dans un solide : cristal périodique

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2. Modèles élémentaires de conduction électronique

Nous allons présenter un modèle classique de la conduction électronique puis un modèle semi-classique de la conduction électronique. Ces modèles considèrent les électrons comme un gaz de particules libres et indépendantes limité par les parois du solide.

2.1 Modèle classique de Drude Lorentz

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2.1.1 Conductivité électrique

Dans ce modèle, les électrons sont considérés comme des particules classiques ponctuelles, indépendantes et libres de se déplacer dans le solide. Lorsqu'un conducteur est soumis à une différence de potentiel, un champ électrique est présent à l'intérieur du conducteur. Ce champ va mettre en mouvement les électrons par le biais de la force de Lorentz :

Le mouvement de la charge obéit aux lois de la mécanique classique. Si aucune force de frottement ne vient limiter la vitesse de l'électron, dans un volume de conducteur, le principe de conservation de la charge n'e st plus assuré. Il existe donc nécessairement un processus limitant la vitesse des électrons dans les solides.

Le modèle de Drude Lorentz introduit de manière phénoménologique une force de frottement représentée par un temps caractéristique de collision τ entre des centres de diffusion du métal. Ceux-ci représentent les défauts de la matrice cristalline ou des impuretés. On suppose également que la diffusion est parfaitement inélastique, c'est-à-dire que toute l'énergie cinétique gagnée par la charge lors de son accélération est perdue lors du choc : elle est transformée en chaleur et est la cause de l'effet Joule. La vitesse initiale après le choc est donc déterminée par la température du solide et sa direction complètement aléatoire. La figure 3 représente de manière schématique la trajectoire d'un électron...