Théorie linéaire quadratique
Automatique et systèmes

Automatique, comme substantif, désigne généralement un ensemble de problèmes qui se posent à propos de l’automatisation des processus industriels ou d’autres objets technologiques comme les moyens de transport, les armements, les télécommunications, etc. Automatisation veut dire ici, permettre au processus de se dérouler sans intervention d’un opérateur humain.

Pris dans ce sens, le domaine est extrêmement vaste. Il recouvre des problèmes typiquement technologiques et même mécaniques, comme la conception des organes moteurs destinés à actionner les commandes. Il recouvre aussi des problèmes physico-mécaniques, comme le choix des méthodes de mesure des diverses grandeurs physiques. Suivant la technologie mise en œuvre, il exige également des connaissances sur les relais et toute l’électromécanique, sur l’électronique, tant des courants faibles que de puissance, les automates programmables et les calculateurs de processus. Dans la mesure où nous évoquons les calculateurs numériques, l’automatique se préoccupe aussi des logiciels temps réel, des systèmes d’exploitation et exécutifs jusqu’aux logiciels d’applications, en passant par les langages spécialisés.

On le voit, le champ est vaste. Pourtant ce n’est d’aucun des domaines cités ci-dessus que nous voulons parler ici. Nous allons nous concentrer sur un aspect purement logique, et donc mathématique, de l’automatisation. Un des problèmes de l’automaticien est de décider quelle commande appliquer à son procédé, en fonction des informations disponibles : généralement des mesures de grandeurs physiques intervenant dans ce procédé et des connaissances a priori, mais parfois l’une des deux seulement. C’est cette décision que nous voulons approfondir, en tant que processus logique. Ainsi, si la solution d’un problème consiste à doter un arbre moteur et un arbre récepteur d’une poulie chacun, et de relier ces poulies par une courroie, ce que nous retiendrons sera la décision de faire tourner l’arbre récepteur à une vitesse proportionnelle à celle de l’arbre moteur, dans un rapport de proportionnalité donné.

Ce qui nous intéressera sera donc des relations reliant diverses grandeurs logiques, codées, pour les besoins de l’analyse, le plus souvent comme des nombres, mais parfois aussi comme des variables booléennes (c’est-à-dire prenant leurs valeurs dans l’ensemble {VRAI, FAUX}), voire des variables plus complexes représentant des connaissances symboliques.

Un système sera pour nous un ensemble d’équations reliant ces variables, et que nous utiliserons comme une approximation (une idéalisation) du système physique considéré, ou de la logique de commande que nous souhaitons lui appliquer.

Nous utiliserons le mot de modèle dans le sens qu’il a quand on parle de modèle réduit pour désigner une maquette. C’est quelque chose qui, d’un certain point de vue, ressemble à l’objet représenté. Un autre point de vue pourrait exiger un autre modèle. L’art de choisir un bon modèle en fonction de la question à laquelle on veut proposer une réponse est un art noble, mais dont nous parlerons peu ici : c’est là que l’expérience de l’automaticien joue, et nous savons bien que, quand il nous faut nous réfugier derrière ce mot, c’est que nous avons atteint la limite de la connaissance transmissible.

Les questions auxquelles nous nous intéresserons seront la traduction dans le langage de ces équations de questions posées par la pratique de l’automatisation, y compris certains aspects de la modélisation elle-même dans sa partie la mieux quantifiable (Ainsi que des questions issues du fait que nos modèles ne sont que des approximations).

Il ressort de cette description que nous considérerons des problèmes de nature mathématique. Il reste cependant une différence fondamentale avec les mathématiques pures ou traditionnelles. Science appliquée, l’Automatique n’a résolu un problème que quand elle a donné un moyen de calculer une solution. Ainsi les aspects algorithmiques joueront un rôle fondamental et motiveront eux-mêmes les développements mathématiques. Naturellement, cet aspect est tributaire d’une technologie : celle du calcul. Le passage du calcul analogique au calcul numérique a provoqué un renouveau profond de la discipline, et on est encore très loin d’avoir pleinement exploré les possibilités offertes par le calcul réparti ou parallèle.

Nous décrirons ainsi un corpus de connaissances qui s’apparente fortement, par certains aspects, à la recherche opérationnelle et à la théorie de la décision. D’autres aspects appartiennent en propre à l’Automatique et ne lui sont disputés par aucune autre discipline. Nous ne nous intéresserons pas ici aux problèmes de frontière.

Il en est pourtant un où il nous faut prendre un parti, c’est sur la place du traitement du signal. Il s’agit manifestement d’une discipline à part entière, dont les liens avec l’Automatique sont très étroits, d’une part parce que l’automatisation d’un procédé inclut des mesures, donc un signal à traiter, mais surtout par la nature des modèles utilisés dans l’une et l’autre discipline. Nous choisirons ici de ne pas développer le traitement du signal en lui-même, mais seulement ses parties qui ont une forte relation logique avec le reste de notre propos (article Traitement des signaux [R 305]).