Méthode énergétique en mécanique des structures

Sommaire

1. Généralités

2. Théorème de Clapeyron : travail des forces extérieures

3. Théorèmes généraux

I – Théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty

II – Théorème de Maxwell, réciprocité des déplacements

III – Théorème de Castigliano

IV – Théorème de Ménabréa

4. Méthode des forces (calculs des structures faiblement hyperstatiques)

I – Exemple de calcul

II – Intégrale de Mohr (remarque de Muller, Breslau)

III – Exemples toutes méthodes confondues

IV – Cas des charges mobiles – Lignes d’influence

V – Cas des arcs isostatiques

L’application de forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant) à un système matériel élastique est prétexte, dans cet article, à explorer les principes de la thermodynamique à travers l’étude concrète de nombreux exemples types.

Les méthodes énergétiques de calculs en mécanique des structures passent par la connaissance de divers théorèmes, successivement abordés dans le cadre de cas pratiques. Par exemple :

• le théorème de Clapeyron qui permet la compréhension du travail des forces extérieures ;

• le théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty qui facilite les calculs de réactions d’appuis de structures hyperstatiques, ou encore les déplacements de forces appliquées ;

• le théorème de Castigliano qui exprime le potentiel en fonction de chaque force distincte, notamment dans les réactions de liaisons surabondantes des systèmes hyperstatiques ;

• le théorème de Ménabréa, conséquence du théorème de Castigliano, qui est particulièrement bien adapté au calcul des réactions de systèmes hyperstatiques.

Une deuxième partie de l’article est consacrée à la méthode des forces dans les calculs des structures faiblement hyperstatiques. On y traite de l’intégrale de Mohr et de quelques exemples toutes méthodes confondues : sur une poutre à 2 appuis, pour la résolution des cadres et portiques (actions d’encastrement, système symétrique et antisymétrique,…), sur une structure en treillis, ou encore un pont à béquille.

Enfin, dans une troisième section, trois études de cas (une partie de bâtiment industriel, la particularité des charges mobiles — comme un convoi routier — et l’arc isostatique) constituent une analyse très pédagogique.

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