Distributions - Opérations et dérivées

De très nombreux phénomènes physiques, chimiques, biologiques et même économiques peuvent être modélisés par des équations différentielles ou par des équations aux dérivées partielles. La solution d’une équation différentielle est une fonction n fois continûment différentiable. Cependant, il est apparu au début du XX ^e siècle que ces contraintes de différentiabilité étaient trop restrictives et que – pour certains phénomènes – il pouvait être intéressant d’y introduire, comme solution, des fonctions discontinues . Dans les années 1930, Jean Leray introduisait la notion de solution faible pour les équations de l’hydrodynamique (solutions turbulentes des équations de Navier-Stokes). Peu après, Leonid Sobolev utilisait celle-ci pour les besoins de la théorie du potentiel. S’appuyant sur ces travaux et cherchant à leur donner un cadre cohérent, Laurent Schwartz a élaboré (1945-1950) une théorie générale et rigoureuse qui est la «  théorie des distributions  ».

Parallèlement, depuis la fin du XIX ^e siècle, le calcul symbolique d’Heaviside avait un réel succès parmi les ingénieurs car, bien que défiant souvent les règles mathématiques en usage, il avait le mérite de mener à des résultats exacts.

Puis Dirac, en 1926, introduisait sa célèbre fonction $\{\begin{array}{cc}\xi \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{1-x^2}}& \mathrm{si}\mathrm{\hspace{0.17em}}\left|x\right|<1\\ \xi \left(x\right)=0& \mathrm{si}\mathrm{\hspace{0.17em}}\left|x\right|\ge 1\end{array}$ nulle en dehors de l’origine, valant + ∞ à l’origine et d’intégrale égale à 1, pour modéliser une impulsion unité à l’instant t = 0 et d’effet nul en dehors de t = 0. Encore plus difficile à admettre pour le mathématicien, cette fonction δ était aussi introduite comme dérivée de la fonction H d’Heaviside, à savoir la fonction qui vaut 1 pour x > 0 et 0 pour x < 0, fonction qui n’est justement...