Réduction des endomorphismes

L’ algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l’étude des systèmes d’équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d’Euclide, une fois gommé l’effet des translations, et, éventuellement, oubliée l’idée de distance. La réduction des endomorphismes n’apparaît que plus tard, et c’est lors de l’examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.

L’algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d’intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s’occupe de matrices ou encore d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l’examen de quatre, voire cinq, principales relations d’équivalence définies entre matrices. Il s’agit en fait :

• de la r-équivalence (A = PBQ) ;

• de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;

• de la similitude (A = PBP   ^–1 ), qui est l’objet de notre étude ;

• de la congruence (A = PB ^t P).

Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale A = OBO  ^–1 = OB ^t O .

Il va s’agir dès lors de chercher à dégager des critères d’appartenance ou de non-appartenance à une classe d’équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l’action du groupe adéquat à la situation.

• Pour la similitude , deux aspects sont à prendre en compte.

Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d’ordre n à coefficients dans le corps