Fonctions analytiques

   1 Les nombres complexes. Propriétés élémentaires

   1.1. Nombres complexes. Définitions

   1.2. Représentation géométrique des nombrescomplexes

   1.3. Opérations sur les nombres complexes

   1.4. Théorème de d'Alembert

   1.5. Propriétés topologiques

   2 Fonctions élémentaires de variable complexe

   2.1. Définition d'une fonction de variable com-plexe

   2.2. Polynômes. Fractions rationnelles

   2.3. Transformations géométriques associées

   2.4. Fonction homographique

   2.5. Fonction exponentielle

   2.6. Fonctions circulaires et hyperboliques

   2.7. Fonction logarithme

   2.8. Fonction 28

   3 Fonctions analytiques

   3.1. Dérivée d'une fonction de variable complexe

   3.2. Conditions de Cauchy

   3.3. Régularité de la dérivée

   3.4. Détermination d'une fonction holomorphe.Fonctions harmoniques

   3.5. Point singulier isolé. Pôle. Point essentiel

   3.6. Fonction multiforme. Point critique. Cou-pure

   3.7. Fonction entière

   4Intégration des fonctions analytiques

   4.1. Intégrales curvilignes

   4.2. Intégration des fonctions holomorphes.Formule de Cauchy

   4.3. Fonction primitive

   4.4. Intégrale de Cauchy

   4.5. Dérivées successives d'une fonction holo-morphe

   4.6. Majoration des dérivées. Théorème deLiouville

   4.7. Principe de la moyenne

   4.8 Principe du maximum

   5 Séries de fonctions analytiques

   5.1. Fonctions définies par des séries

   5.2. Série entière et rayon de convergence

   5.3. Série de Taylor

   5.4. Principe du prolongement analytique

   5.5. Zéros d'une fonction holomorphe

   5.6. Pôles d'une fonction méromorphe

   5.7. Série de Laurent

   5.8. Point singulier isolé. Point essentiel

   6 Calcul des résidus. Applications

   6.1. Définition du résidu

   6.2. Théorème des résidus

   6.3. Calcul pratique des résidus

   6.4. Application aux zéros et pôles d'une fonc-tion méromorphe

   6.5. Application au calcul des intégrales définies

   7 Transformation conforme

   7.1. Analogie entre les fonctions holomorpheset les transformations conformes

   7.2. Application : cartes géographiques

   7.3. Application à l'hydrodynamique

   7.4. Transformations homographiques

   7.5. Transformation de Joukowsky

   7.6. Théorème général

   7.7. Représentation des polygones

   7.8. Cas du rectangle

   7.9. Cas du triangle

   8 Fonctions elliptiques

   8.1. Définition

   8.2. Principales propriétés

   8.3. Fonction de Weierstrass P(z)

   8.4. Fonction K(z) et décomposition d'Hermite

   8.5. Fonction s(z)

   8.6. Applications. Calcul des intégrales ellip-tiques

   9 Annexe. Définitions topologiques

   9.1. Voisinage

   9.2. Ouvert

   9.3. Chemin. Courbe

   9.4. Homotopie

   9.5. Connexité

   9.6. Connexité simple

   9.7. Bord d'un domaine borné

   9.8. Indice

   INDEX BIBLIOGRAPHIQUE;