Problèmes classiques de dynamiques stochastiques : méthodes d’études : Dossier complet

Présentation

Auteur(s)

Christian SOIZE : Docteur ès Sciences Professeur à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées Chargé de Conférences à l’École Centrale des Arts et Manufactures Chef de la Division Aéroélasticité de la Direction des Structures à l’Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales

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INTRODUCTION

1. Théorie élémentaire des probabilités et des processus stochastiques

1.1 Fondements de la modélisation stochastique

1.2 Variable aléatoire à valeurs dans XXX

1.3 Processus et champs stochastiques classiques

1.4 Processus de diffusion et équations différentielles stochastiques

1.5 Statistiques sur les trajectoires des processus stochastiques

1.6 Représentation intégrale et échantillonnage des processus et des champs

1.7 Ergodicité

2. Vibrations aléatoires des systèmes à comportement linéaire

2.1 Oscillateur linéaire simple à un degré de liberté

2.2 Système linéaire continu invariant en temps

2.3 Système dynamique linéaire de dimension finie

3. Vibrations aléatoires des systèmes à comportement non linéaire

3.1 Position du problème

3.2 Méthode d’étude de la solution à l’aide des EDSI

3.3 Méthodes de construction de la solution

4. Stabilité des systèmes dynamiques linéaires à coefficients aléatoires

4.1 Position du problème

4.2 Stabilité du système sans second membre

4.3 Stabilité du système avec second membre

Principales notations d’algèbre linéaire

Abréviations utilisées dans le texte

Références bibliographiques

Le domaine abordé est beaucoup trop vaste et les différents aspects trop variés pour qu’ils puissent être traités et développés en détail dans cet article. Devant limiter l’exposé, nous avons dû effectuer des choix. Il semble que les difficultés rencontrées par les ingénieurs d’études et de recherches, qui sont confrontés à des problèmes de dynamique stochastique, que nous appellerons encore problèmes de vibrations aléatoires, soient dues à deux facteurs principaux.

lLe premier concerne le choix de l’approche mathématique qui permettra de construire une méthode de résolution effective pour un problème donné. Cette difficulté provient souvent du fait que les méthodes issues de la théorie des probabilités sont assez variées et que l’ingénieur, non encore familiarisé avec cette théorie, peut rencontrer quelques difficultés à se repérer dans l’ensemble des résultats disponibles.

Le second facteur est dû au caractère pluridisciplinaire, puisque l’on doit faire appel simultanément : à l’ensemble de la mécanique, à la théorie des probabilités et en particulier à celle des processus stochastiques, aux statistiques mathématiques, à la théorie et au traitement du signal, aux mathématiques appliquées usuelles mais aussi à l’analyse fonctionnelle, à l’analyse numérique et enfin très largement à l’informatique.

Dans ces conditions les objectifs que nous nous sommes fixés sont les suivants :

exposer les principales méthodes constructives pour les grandes classes de problèmes de vibrations aléatoires, en indiquant les limites des méthodes, liées le plus souvent aux contraintes numériques ;

donner les grandes étapes des raisonnements, afin que les développements présentés soient autonomes et directement utilisables ;

aborder les problèmes classiques, c’est-à-dire ceux qui se posent le plus souvent dans les études et recherches menées, par exemple, dans les secteurs de l’aérospatiale, de l’aéronautique, des génies nucléaire, mécanique, maritime, civil, des industries automobiles, pétrolières et ferroviaires, de la géophysique, etc.

La terminologie classique ne signifie pas du tout que les méthodes appliquées soient toujours simples. Bien au contraire, une majorité de ces problèmes dits classiques nécessite la mise en oeuvre de méthodes mathématiques et numériques avancées, ainsi que des moyens informatiques puissants. Du reste, un certain nombre de ces problèmes ne sont pas encore résolus et font l’objet d’un effort de recherche très important sur le plan international.

Les limites des méthodes proviennent, le plus souvent, des difficultés liées à la numérisation. Par exemple, les vibrations aléatoires stationnaires d’un milieu continu solide, occupant un domaine borné de l’espace, viscoélastique linéaire, à paramètres déterministes et excité par un champ de forces stochastique, gaussien, stationnaire en temps, s’étudient sans difficulté sur le plan théorique. On se ramène à un problème de filtrage linéaire de dimension infinie, traité classiquement par analyse spectrale. Le problème est alors la numérisation de la solution mathématique, lié à la construction d’une approximation finie de l’opérateur de l’élastodynamique. Pour ce problème, le domaine des basses fréquences (BF) se résout assez facilement, le domaine des moyennes fréquences (MF) nécessite des méthodes numériques avancées que nous ne pourrons malheureusement pas exposer ici, et le domaine des hautes fréquences (HF) est encore loin d’être complètement résolu. On notera donc que, même pour des problèmes linéaires qui sont simples et résolus sur le plan mathématique, la construction effective de la solution n’est pas encore possible dans tous les cas.

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