Filtrage numérique à base d'ondelettes - Fondements

Le fort engouement pour l’univers des ondelettes et leurs applications date déjà de près de trois décennies ; il a suscité la publication d’un nombre impressionnant d’ouvrages et d’articles scientifiques, de fondements théoriques ou de synthèses. Notre modeste contribution, ici, est d’introduire le filtrage à base d’ondelettes via l’analyse multirésolution, en vue de fournir des compétences et un savoir-faire au plus grand nombre d’utilisateurs de l’univers académique (étudiants, chercheurs débutants ou non-spécialistes du domaine) et du monde socio-économique (techniciens et ingénieurs).

Cet essor actuel des transformées en ondelettes et par paquets d'ondelettes est dû principalement à deux propriétés spécifiques résultant des décompositions sur des bases d'ondelettes orthogonales : la parcimonie de représentation et la tendance à transformer un processus aléatoire stationnaire en séquences gaussiennes décorrélées.

Dans le cadre de la réduction de bruit, plus communément connue sous le vocable de « débruitage », le succès de l’analyse multirésolution à base d’ondelettes est précisément assuré par sa capacité de décorrélation (séparation du bruit et du signal utile) et par la notion de parcimonie de sa représentation.

Cette parcimonie se matérialise par un faible nombre de coefficients d’ondelettes (ou plus exactement de coefficients de la transformée en ondelettes) de forte amplitude, représentant le signal utile supposé régulier, ou régulier par morceaux. Quant au bruit, souvent supposé blanc et stationnaire, il aura tendance à se répartir sur toutes les composantes ou coefficients d’ondelettes.

S’appuyant sur ces deux propriétés (parcimonie et décorrélation), un filtrage adéquat dans le domaine des ondelettes et le calcul de la transformée en ondelettes inverse correspondante permettront d’obtenir le signal débruité.

Les performances de ce filtrage seront analysées, tant du point de vue de l'erreur quadratique moyenne et du rapport signal à bruit noté SNR (signal-to-noise ratio) ou PSNR (peak signal-to-noise ratio) que de celui de la qualité visuelle dans le cas d'images.

Apporter une formulation simple et un éclairage nouveau, rendre accessible des connaissances et informations a priori absconses, fusionner, marier ou compléter l’analyse multirésolution avec le filtrage et l’extraction de caractéristiques sont les objectifs de cet article. Il vise ainsi à donner des clés en vue de décrypter et de rendre opérationnels des concepts qui semblent abstraits. Les aspects théoriques les plus pointus seront donc contournés et renvoyés vers une riche bibliographie spécialisée.