Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par la méthode des éléments finis

Dans l’article [AF 1 404] nous avons présenté les concepts méthodologiques conduisant à la modélisation par l’équation de Navier-Stokes des phénomènes d’écoulements de fluides incompressibles ou compressibles, laminaires ou turbulents. Pour résoudre numériquement ces équations par différences finies nous avons considéré, d’une part, la formulation courant-vorticité qui conduit à la résolution d’équations de Poisson couplées à des équations de convection-diffusion et, d’autre part, la formulation vitesse-pression. Cependant l’approximation de problèmes aux limites par différences finies si elle est intéressante lorsque le domaine Ω est de forme rectangulaire présente par contre des difficultés de mise en œuvre lorsque Ω est de forme quelconque. C’est pourquoi dans l’industrie on utilise de préférence la méthode des éléments finis qui permet à la fois d’obtenir une approximation des opérateurs aux dérivées partielles ainsi que du domaine Ω. On a vu également dans l’article [AF 1 406] la résolution des équations de Navier-Stokes par la méthode des volumes finis.

Pour des raisons de simplicité d’exposition on se limitera dans cet article au cas de problèmes bidimensionnels stationnaires ; habituellement on discrétise les dérivées par rapport au temps par différences finies pour aboutir soit à des schémas en temps de type explicite soit à des schémas en temps de type implicite, puis on utilise la méthode des éléments finis pour discrétiser spatialement le problème semi-discrétisé en temps. Que cela soit l’un ou l’autre schéma en temps, le point crucial est donc constitué par l’approximation spatiale des opérateurs. On abordera aussi la discrétisation temporelle par élément finis.

Compte tenu de la complexité de l’approximation du problème cible par éléments finis, nous nous bornerons dans un premier temps à l’approximation par éléments finis du problème linéaire de Stokes, correspondant aux équations de Navier-Stokes sans le terme non linéaire de convection. De...