Analyse temps-fréquence. Ondelettes - Théorie

L’analyse de Fourier est un outil de base en traitement du signal, indispen-sable dans de nombreux domaines de la recherche, mais elle montre vite des limites justifiées dès lors que l’on sort du cadre rigoureux de sa définition : le domaine des signaux stationnaires d’énergie finie. Dans l’analyse de Fourier, tous les aspects temporels (début, fin, durée d’un événement), bien que présents dans la phase, deviennent illisibles dans le spectre. En particulier, la transformée de Fourier (TF) d’un morceau de musique ne permet pas de retrouver le rythme joué, mais simplement les notes présentes. Le spectre seul ne permet pas de dissocier deux partitions différentes ayant les mêmes notes. Or, on souhaiterait pourtant parfois réaliser à la fois une analyse en temps et en fréquence, pour retrouver la « portée musicale » associée à ces signaux non stationnaires .

L’étude de signaux non stationnaires nécessite donc soit une extension de la TF (ou des méthodes stationnaires), en y introduisant un aspect temporel, soit le développement de méthodes spécifiques.

La première solution, mise en place intuitivement au milieu du siècle, correspond aux analyses de Fourier à fenêtre glissante (FFG) ou Fourier à court terme introduites dès 1945 par D. Gabor [1] avec l’idée d’un plan temps-fréquence où des modulations de fréquences seraient ainsi exprimées, et où le temps deviendrait un paramètre complémentaire de la fréquence. Ces méthodes montrent qu’une localisation exacte conjointe en temps et en fréquence est impossible, et introduisent l’idée d’une base discrète, minimale, traduisant en quelques coefficient la répartition d’énergie du signal dans le plan temps-fréquence ainsi mis en évidence. À ces approches s’est ajoutée la transformée en ondelettes , existant à l’état latent aussi bien en mathématiques qu’en traitement du signal, mais dont le véritable essor a commencé au début des années 1980.

Une deuxième approche possible consiste à considérer la densité d’énergie du signal comme une distribution des deux variables temps et fréquence . Cette décomposition bilinéaire, conjointe, introduite par J. Ville [2], a mis en relief le rôle central de la distribution de Wigner-Ville, puis a débouché sur les classes générales de Cohen affines, englobant les représentations temps-fréquence et précédemment citées [3][4].