Gudrun ALBRECHT

Aborder la géométrie différentielle dans un espace euclidien, c’est s’intéresser tout d’abord à la représentation paramétrique des courbes et des surfaces pour se familiariser avec les notions de point régulier, de point singulier, d’abscisse curviligne, de première et deuxième forme fondamentale.

Cet article a pour thème la présentation des bases des géométries affine et euclidienne. Pour commencer, un rappel est fait sur la géométrie vectorielle : les notions d’espace vectoriel, de base et d’application linéaire. Les notions d’espace, de sous-espace et de groupe affine sont ensuite présentées. La géométrie euclidienne s’impose ensuite, la géométrie affine ne donnant pas les outils nécessaires pour mesurer les distances ou les angles. Sont alors introduites les notions d'espace euclidien, de distance, d'angle et d'orthogonalité ainsi que les similitudes et les isométries avec leurs groupes et leurs invariants respectifs, en particulier la classification détaillée des coniques et des quadriques par rapport aux isométries.

La présentation de la géométrie projective bi et tridimensionnelle ne peut se faire sans un rappel de la structure d’un espace affine. Ces deux approches ont en commun les mêmes bases, cependant l’avantage majeur de la géométrie projective est de permettre une formulation plus uniforme et homogène, sans besoin de vecteur de translation. Cet article traite des notions de repère, de coordonnées et de transformations projectives, de birapport de quatre points alignés et du principe de dualité. N’est pas oubliée la présentation des théorèmes classiques de Pascal, Desargues et Pappus, ainsi que leurs correspondants duaux, et du programme d’Erlanger, qui établit la théorie des invariants d’un groupe de transformations.