Géométrie affine et euclidienne

Ce dossier est consacré à la présentation des bases des géométries affine et euclidienne. Dans ce but, nous évoquerons tout d'abord la géométrie vectorielle. Comme l'indique son nom, les éléments de base de la géométrie vectorielle sont les vecteurs, auxquels une structure est imposée par la notion d'espace vectoriel. Le concept de point, bien utile pour de nombreuses applications, est inconnu en géométrie vectorielle. Il nécessite des notions supplémentaires et constitue le fondement de la géométrie affine. L'espace affine lui fournit une structure qui associe vecteurs et points, permettant de les manipuler ensemble. Toutefois la géométrie affine ne donne pas les outils nécessaires pour mesurer les distances ou les angles. Cela deviendra possible en passant à la géométrie euclidienne. L'espace euclidien, un espace affine particulier, permettra, sur la base de la notion du produit scalaire, de mesurer des distances entre deux points ainsi que des angles entre deux droites. Suivant Felix Klein qui, dans son programme d'Erlangen, a identifié « la géométrie » avec « la théorie des invariants d'un groupe de transformation », nous évoquerons les invariants des géométries affine et euclidienne. Vu leur importance dans les applications, nous traiterons en particulier les classifications affines et euclidiennes des coniques dans le plan et des quadriques dans l'espace tridimensionnel.