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Mathématiques pour l’électricien - Nombres complexes

Auteur(s) : Claude ROUXEL

Date de publication : 10 mai 1999 | Read in English

Sommaire
Médias

Présentation

1 - Forme cartésienne des nombres complexes

1.1 - Définition
1.2 - Nombres complexes conjugués
1.3 - Représentation graphique

Figure 2 - Somme de complexes

2 - Nombres complexes sous forme trigonométrique

2.1 - Module et argument d’un nombre complexe
2.2 - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
2.3 - Notation exponentielle
2.4 - Produit et quotient de deux complexes

3 - Formules de Moivre et d’Euler

3.1 - Formule de Moivre
3.2 - Formules d’Euler

4 - Applications

4.1 - Racine carrée et équation du second degré
4.2 - Racines n -ièmes
4.3 - Rotation et similitude dans le plan

Figure 8 - Rotation [O, ] Figure 9 - Similitude [O, r, ]

5 - Transformation cissoïdale

5.1 - Définition
5.2 - Propriétés
5.3 - Applications à l’électricité

Figure 10 - Système linéaire Figure 11 - Circuit RC Tableau 1

Présentation

Auteur(s)

Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers

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INTRODUCTION

Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble $ℝ$ des réels, un nouveau nombre, noté $j$ , dont le carré vaut (–1).

Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :

conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité…) ;
tenir compte de la nouvelle règle : $j^{2}$ = –1.

On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :

\underline{z} = a + j b

où a et b sont des réels.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-d31

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4. Applications

4.1 Racine carrée et équation du second degré

Étant donné un complexe Z, calculons z tel que (figure 6) :

Z = z²

Posons Z = ρe^jθ et z = r e^jα, on obtient :

r = \sqrt{ρ}

et :

α = \frac{θ}{2} + k π (k \in ℤ)

c’est-à-dire deux racines opposées selon que k est pair ou impair.

Tout nombre complexe non nul Z = ρe^{j θ} a deux racines carrées opposées :

z_{1} = {\sqrt{ρ e}}^{j θ / 2}

et :

z₂ = – z₁

Z = 0 admet la racine carrée unique 0.

On évite, dans $ℂ$ , l’écriture $\sqrt{Z}$ : pour cela, il faudrait adopter une convention pour distinguer les deux racines carrées, mais il s’est avéré que cette démarche présente plus d’inconvénients que d’avantages.