Forme cartésienne des nombres complexes

Forme cartésienne des nombres complexes
Mathématiques pour l’électricien - Nombres complexes

Auteur(s) : Claude ROUXEL

Date de publication : 10 mai 1999 | Read in English

Sommaire
Médias

Présentation

1 - Forme cartésienne des nombres complexes

1.1 - Définition
1.2 - Nombres complexes conjugués
1.3 - Représentation graphique

Figure 2 - Somme de complexes

2 - Nombres complexes sous forme trigonométrique

2.1 - Module et argument d’un nombre complexe
2.2 - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
2.3 - Notation exponentielle
2.4 - Produit et quotient de deux complexes

3 - Formules de Moivre et d’Euler

3.1 - Formule de Moivre
3.2 - Formules d’Euler

4 - Applications

4.1 - Racine carrée et équation du second degré
4.2 - Racines n -ièmes
4.3 - Rotation et similitude dans le plan

Figure 8 - Rotation [O, ] Figure 9 - Similitude [O, r, ]

5 - Transformation cissoïdale

5.1 - Définition
5.2 - Propriétés
5.3 - Applications à l’électricité

Figure 10 - Système linéaire Figure 11 - Circuit RC Tableau 1

Présentation

Auteur(s)

Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers

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INTRODUCTION

Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble $ℝ$ des réels, un nouveau nombre, noté $j$ , dont le carré vaut (–1).

Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :

conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité…) ;
tenir compte de la nouvelle règle : $j^{2}$ = –1.

On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :

\underline{z} = a + j b

où a et b sont des réels.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-d31

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Nombres complexes sous forme trigonométrique

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1. Forme cartésienne des nombres complexes

La conservation des règles opératoires sur les réels et la règle j ² = –1 imposent pour la somme et le produit de :

\underline{z} = a + j b et \underline{z^{'}} = a^{'} + j b^{'}

(a, b, a’, b’ réels) les règles suivantes :

somme :

$\underline{z} + \underline{z^{'}} = a + a^{'} + j (b + b^{'})$
produit :

$\underline{z} \cdot {\underline{z}}^{'} = a a^{'} - b b^{'} + j (a b^{'} + a^{'} b)$ ^( 1 )